Wir besprechen drei Modelle für die sogenannte hyperbolische Fläche
(oder hyperbolische Ebene)
und geben
Isometrien
zwischen ihnen an. In
Beispiel
werden wir sehen, dass es sich um eine Fläche mit konstanter
Schnittkrümmung handelt. Das folgende Modell heißt Poincarésche Halbebene.
und
gegeben ist. Es handelt sich also um das mit der Funktion umskalierte Standardskalarprodukt. Die Norm eines Tangentialvektors in einem Punkt ist die um den Faktor umskalierte Standardnorm. Die Flächenform ist also durch die Dichte gegeben.
Das folgende Modell heißt hyperbolische Kreisscheibe.
Die Abbildung ist nach
Aufgabe
bijektiv und komplex-differenzierbar mit einer komplex-differenzierbaren Umkehrabbildung, es liegt also erst recht ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten vor. Die Abbildung ist nach
Aufgabe
in reellen Koordinaten durch
gegeben. Die partiellen Ableitungen sind nach
Aufgabe
gleich
und
Wir müssen zeigen, dass
ist. Da die beiden partiellen Ableitungen senkrecht aufeinander stehen und da beide riemannschen Metriken die Orthogonalität des Standardskalarproduktes ererben, muss dies nur für
gezeigt werden. Wir müssen also zeigen, dass das totale Differential längentreu ist. Es ist
Entsprechend ergibt sich die Aussage für die zweite partielle Ableitung.
Die euklidische Standardmetrik des induziert auf jeder abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit eine riemannsche Metrik. Es gibt aber auch Situationen, wo man den mit einer anderen, also nicht
positiv definiten
nichtausgearteten
Bilinearform
versieht und die Einschränkung auf eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit dennoch eine riemannsche Mannigfaltigkeit ergibt. Für das folgende Beispiel, das zweischalige Hyperboloid, siehe auch Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 40.
Wir versehen den mit der
Standard-Minkowski-Form,
also der Bilinearform, die zur quadratischen Form gehört, und wir betrachten die Teilmenge
Wenn man den mit der Minkowski-Form als ein dreidimensionales Modell für die spezielle Relativitätstheorie ansieht, so ist dies die Menge der in die Zukunft gerichteten Beobachtervektoren. Zu einem Punkt
ist nach
Fakt
die Einschränkung der Form auf den Tangentialraum positiv definit. Es bilden
und
eine Basis des
Tangentialraumes. Für einen beliebigen Tangentialvektor