Hyperbolische Fläche/Modelle/Isometrien/Einführung/Textabschnitt

Wir besprechen drei Modelle für die sogenannte hyperbolische Fläche (oder hyperbolische Ebene) und geben Isometrien zwischen ihnen an. In Beispiel werden wir sehen, dass es sich um eine Fläche mit konstanter Schnittkrümmung handelt. Das folgende Modell heißt Poincarésche Halbebene.


Es sei

die obere Halbebene versehen mit der riemannschen Metrik, die durch

und gegeben ist. Es handelt sich also um das mit der Funktion umskalierte Standardskalarprodukt. Die Norm eines Tangentialvektors in einem Punkt ist die um den Faktor umskalierte Standardnorm. Die Flächenform ist also durch die Dichte gegeben.


Das folgende Modell heißt hyperbolische Kreisscheibe.


Auf der offenen Kreisscheibe

definieren wir eine riemannsche Struktur durch die Bilinearform

das Standardskalarprodukt wird also mit der Funktion umskaliert, die erste Fundamentalmatrix ist




Die Abbildung

definiert eine Isometrie zwischen der hyperbolischen Kreisscheibe und der Poincaréschen Halbebene.

Die Abbildung ist nach Aufgabe bijektiv und komplex-differenzierbar mit einer komplex-differenzierbaren Umkehrabbildung, es liegt also erst recht ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten vor. Die Abbildung ist nach Aufgabe in reellen Koordinaten durch

gegeben. Die partiellen Ableitungen sind nach Aufgabe gleich

und

Wir müssen zeigen, dass

ist. Da die beiden partiellen Ableitungen senkrecht aufeinander stehen und da beide riemannschen Metriken die Orthogonalität des Standardskalarproduktes ererben, muss dies nur für gezeigt werden. Wir müssen also zeigen, dass das totale Differential längentreu ist. Es ist

Entsprechend ergibt sich die Aussage für die zweite partielle Ableitung.


Die euklidische Standardmetrik des induziert auf jeder abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit eine riemannsche Metrik. Es gibt aber auch Situationen, wo man den mit einer anderen, also nicht positiv definiten nichtausgearteten Bilinearform versieht und die Einschränkung auf eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit dennoch eine riemannsche Mannigfaltigkeit ergibt. Für das folgende Beispiel, das zweischalige Hyperboloid, siehe auch Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 40.


Es geht um die obere Schale des zweischaligen Hyperboloids, versehen mit der von der Minkowsi-Form induzierten Bilinearform.

Wir versehen den mit der Standard-Minkowski-Form, also der Bilinearform, die zur quadratischen Form gehört, und wir betrachten die Teilmenge

Wenn man den mit der Minkowski-Form als ein dreidimensionales Modell für die spezielle Relativitätstheorie ansieht, so ist dies die Menge der in die Zukunft gerichteten Beobachtervektoren. Zu einem Punkt ist nach Fakt die Einschränkung der Form auf den Tangentialraum positiv definit. Es bilden und eine Basis des Tangentialraumes . Für einen beliebigen Tangentialvektor

ist




Die Abbildung

definiert eine Isometrie zwischen der hyperbolischen Kreisscheibe und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids mit der induzierten Minkowski-Metrik.

Die partiellen Ableitungen von sind

und

Es ist

und

Unter Berücksichtigung des Vorfaktors stimmen die Werte der Skalarprodukte auf mit den Skalarprodukten auf der Kreisscheibe überein.