K-Spektrum/Idempotente Elemente/Zusammenhang/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Die Elemente ${}0$ und ${}1$ sind idempotent.

Definition

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

In einem Produktring gibt es viele idempotente Elemente, nämlich solche Elemente, deren Komponenten alle ${}0$ oder ${}1$ sind.

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.

Ein zusammenhängender topologischer Raum (rot) und ein nicht zusammenhängender Raum (grün).

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Die leere Menge und der Gesamtraum sind stets zugleich offen und abgeschlossen. Solche Mengen nennt man auch randlos oder clopen. Der leere topologische Raum gilt nicht als zusammenhängend, da es in ihm nur eine zugleich offene und abgeschlossene Menge gibt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R_{1}$ und ${}R_{2}$ endlich erzeugte ${}K$-Algebren mit dem Produktring ${}R=R_{1}\times R_{2}$.

Dann gibt es eine natürliche Homöomorphie

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\uplus K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{2}\right)}.$

Dabei werden die Einbettungen von rechts nach links durch die Projektionen ${}R\rightarrow R_{i}$, ${}i=1,2$, induziert.

Beweis

Die Projektion ${}R_{1}\times R_{2}\rightarrow R_{1}$ ist ein ${}K$-Algebrahomomorphismus und liefert daher (nach Fakt  (3)) eine stetige Abbildung

(und zwar eine abgeschlossene Einbettung)

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

Ebenso gibt es eine Abbildung auf ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{2}\right)}$. Diese zusammengenommen definieren eine stetige Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\uplus K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}.$

Es sei ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{1}\times R_{2}\right)}$, also ${}P\colon R_{1}\times R_{2}\rightarrow K$ sei ein ${}K$-Algebrahomomorphismus. Seien ${}e_{1}=(1,0)$ und ${}e_{2}=(0,1)$ die zur Produktzerlegung gehörenden idempotenten Elemente. Wegen ${}e_{1}+e_{2}=1$ und ${}e_{1}e_{2}=0$ wird genau eines dieser Elemente (sagen wir ${}e_{1}$) unter ${}P$ auf ${}0$ abgebildet (das andere auf ${}1$). Dann wird aber ${}R_{1}\times 0$ auf ${}0$ geschickt und ${}P$ faktorisiert durch eine Projektion. Das beweist die Surjektivität.

Zur Injektivität seien ${}P_{1},P_{2}$ in der disjunkten Vereinigung gegeben, ${}P_{1}\neq P_{2}$. Wenn sie beide in einem der Teilstücke liegen, so bleiben sie unter der Abbildung verschieden, da auf den Teilstücken eine abgeschlossene Einbettung vorliegt. Wenn sie auf verschiedenen Teilstücken liegen, so faktorisieren sie durch die beiden verschiedenen Projektionen und für den einen Punkt ist ${}P_{1}(e_{1})=0$ und für den anderen Punkt ${}P_{2}(e_{1})=1$. Sie sind also verschieden als Elemente in ${}K-\operatorname {Spek} \,(R_{1}\times R_{2})$.

Eine Homöomorphie liegt vor, da sich die einzelnen abgeschlossenen Einbettungen zu einer abgeschlossenen Abbildung zusammensetzen.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine reduzierte kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ.

Dann stiftet die Abbildung

$e\longmapsto D(e)$

eine Bijektion zwischen den idempotenten Elementen in ${}R$ und denjenigen Teilmengen aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, die sowohl offen also auch abgeschlossen sind.

Beweis

Zunächst ist ${}D(e)=V(1-e)$ offen und abgeschlossen. Dies folgt aus

${}D(e)\cup D(1-e)=D(1)=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\,$

und aus

${}D(e)\cap D(1-e)=D(e(1-e))=D(e-e^{2})=D(0)=\emptyset \,.$

D.h. die Abbildung ist wohldefiniert.
Es seien ${}e_{1},e_{2}$ zwei idempotente Elemente mit ${}U=D(e_{1})=D(e_{2})$. Da ein idempotentes Element in einem Körper nur die Werte ${}0$ oder ${}1$ annehmen kann, haben sowohl ${}e_{1}$ als auch ${}e_{2}$ auf ${}U$ den Wert ${}1$ und außerhalb den Wert ${}0$. Damit haben ${}e_{1}$ und ${}e_{2}$ überall den gleichen Wert und sind nach dem Identitätssatz für Polynome überhaupt gleich. Dies beweist die Injektivität.
Es sei nun ${}U=D({\mathfrak {a}})$ sowohl offen als auch abgeschlossen. D.h. es gibt ein weiteres Ideal ${}{\mathfrak {b}}$ mit ${}D({\mathfrak {a}})\cup D({\mathfrak {b}})=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}D({\mathfrak {a}})\cap D({\mathfrak {b}})=\emptyset$. Nach Fakt erzeugen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ zusammen das Einheitsideal. D.h. es gibt ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}b\in {\mathfrak {b}}$ mit ${}a+b=1$. Wegen ${}D(a)\cap D(b)=D(ab)=\emptyset$ ist nach Aufgabe das Element ${}ab$ nilpotent und wegen der Reduziertheit ist ${}ab=0$. Also ist

${}a=a\cdot 1=a(a+b)=a^{2}+ab=a^{2}\,$

idempotent. Wegen ${}D(a)\subseteq D({\mathfrak {a}})$ , ${}D(b)\subseteq D({\mathfrak {b}})$ und ${}D(a)\cup D(b)=K-\operatorname {Spek} \,(R)$ ist ${}U=D({\mathfrak {a}})=D(a)$.

$\Box$

Es folgt, dass über einem algebraisch abgeschlossenen Körper eine reduzierte ${}K$-Algebra ${}R$ von endlichem Typ genau dann zusammenhängend ist, wenn das zugehörige ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zusammenhängend ist.