Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Einführung/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Krullscher Hauptidealsatz.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}f\in R$.

Dann besitzt jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$, das oberhalb von ${}(f)$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe ${}\leq 1$.

Beweis

Es sei ${}f\in {\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal. Wir können an ${}{\mathfrak {q}}$ lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element ${}f$ ist, die Dimension ${}0$ oder ${}1$ besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Es sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette

${}0\subseteq {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}\,$

vorliegt und dass ${}{\mathfrak {m}}$ minimal über ${}f\neq 0$ ist. Es ist ${}{\mathfrak {p}}=0$ zu zeigen. Der Restklassenring ${}R/(f)$ ist noethersch und besitzt die Dimension ${}0$, da ja darin ${}{\mathfrak {m}}$ das einzige Primideal ist. Somit ist nach Aufgabe der Ring ${}R/(f)$ auch artinsch, d.h. jede absteigende Idealkette in ${}R/(f)$ wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in ${}R$ oberhalb von ${}Rf$ stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette

${}{\mathfrak {p}}^{(1)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(2)}+Rf\supseteq {\mathfrak {p}}^{(3)}+Rf\subseteq \ldots \,$

in ${}R$, wobei wir symbolische Potenzen verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in ${}R/(f)$. Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein ${}n$ mit

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}+Rf={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+Rf\,.$

Wir behaupten, dass sogar

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}+{\mathfrak {p}}^{(n)}f\,$

gilt, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Es sei also ${}g\in {\mathfrak {p}}^{(n)}$. Wegen der ersten Gleichung ist

${}g=h+rf\,$

mit ${}h\in {\mathfrak {p}}^{(n+1)}$. Wegen ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ ist

${}r={\frac {g-h}{f}}\in {\mathfrak {p}}^{n}R_{\mathfrak {p}}\cap R={\mathfrak {p}}^{(n)}\,.$

Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo ${}{\mathfrak {p}}^{(n+1)}$ die Beziehung

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}={\left({\mathfrak {p}}^{(n)}/{\mathfrak {p}}^{(n+1)}\right)}\cdot (f)\,.$

Dies bedeutet wiederum

${}{\mathfrak {p}}^{(n)}={\mathfrak {p}}^{(n+1)}\,$

nach dem Lemma von Nakayama. Dies bedeutet in ${}R_{\mathfrak {p}}$

${}{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}={\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n+1}\,.$

Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama (siehe Aufgabe), zunächst

${}{\left({\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\right)}^{n}=0\,$

und, da ${}R$ integer ist,

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0\,$

und somit ${}{\mathfrak {p}}=0$.

$\Box$

Die im Satz angesprochenen Primideale nennt man auch die minimalen Primoberideale zu ${}f$. Sie sind typischerweise in ${}R$ keine minimalen Primideale, sondern sie entsprechen den minimalen Primidealen im Restklassenring ${}R/(f)$. Wenn ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}f\neq 0$ ist, so bedeutet die Aussage, dass die minimalen Primoberideale zu ${}f$ die Höhe ${}1$ besitzen.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$.

Dann besitzt jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$, das oberhalb von ${}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe ${}\leq n$.

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$, der Fall ${}n=0$ ist trivial und der Fall ${}n=1$ ist der Krullsche Hauptidealsatz. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ das in Frage stehende Primideal. Wir können zur Lokalisierung übergehen und erhalten einen lokalen noetherschen Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$, das (als Primideal) minimal über

${}{\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,$

ist. Insbesondere ist ${}{\mathfrak {m}}$ das einzige Primoberideal von ${}(f_{1},\ldots ,f_{n})$. Es ist zu zeigen, dass die Dimension des Ringes höchstens ${}n$ ist. Sei

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{k-1}\subset {\mathfrak {p}}_{k}={\mathfrak {m}}\,$

eine Primidealkette. Es sei ${}i$ so gewählt, dass ${}{\mathfrak {m}}$ kein minimales Primideal über ${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$, aber ein minimales Primideal über ${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1},f_{i})$ ist. Dabei ist ${}i$ zwischen ${}1$ und ${}n$. Wir betrachten die Situation modulo ${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$. Das Primideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist in ${}R/{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$ ein minimales Primoberideal zu ${}(f_{i})$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt ${}{\mathfrak {m}}$ in diesem Ring die Höhe ${}1$ (die Höhe ${}0$ ist wegen der Nichtminimalität ausgeschlossen). Es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal

${}{\mathfrak {p}}_{k-1}+(f_{1},\ldots ,f_{i-1})\subseteq {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {m}}\,.$

Da ${}{\mathfrak {m}}$ minimal über ${}{\mathfrak {q}}+(f_{i})$ ist, besitzen diese beiden Ideale das gleiche Radikal. D.h. es gibt einen Exponenten ${}m$ derart, dass ${}f_{j}^{m}\in {\mathfrak {q}}+(f_{i})$ für alle ${}j$ gilt. Wir schreiben dies für ${}j\neq i$ als ${}f_{j}^{m}=g_{j}+h_{j}f_{i}$ mit ${}g_{j}\in {\mathfrak {q}}$. Wir betrachten das Ideal

${}{\left(g_{j},\,j\neq i\right)}\subseteq {\mathfrak {q}}\,.$

Dabei muss ${}{\mathfrak {q}}$ ein minimales Primoberideal sein, da ${}{\mathfrak {m}}$ ein minimales Primoberideal zu ${}{\left(g_{j},\,j\neq i\right)}+(f_{i})$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Höhe von ${}{\mathfrak {q}}$ höchstens ${}n-1$ und somit ist die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ höchstens ${}n$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer noetherscher Ring und ${}{\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal der Höhe ${}d$.

Dann gibt es Elemente

${}f_{1},\ldots ,f_{d}\subseteq {\mathfrak {p}}\,$

derart, dass ${}{\mathfrak {p}}$ ein minimales Primideal über ${}{\left(f_{1},\ldots ,f_{d}\right)}$ ist.

Beweis

Wir führen Induktion nach ${}d$, bei ${}d=0$ liegt ein minimales Primideal (über ${}0$) vor. Sei ${}d\geq 1$ und die Aussage für kleinere Höhen bewiesen. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ die minimalen Primideale von ${}R$, die in ${}{\mathfrak {p}}$ enthalten sind. Dann gibt es nach Fakt ein

${}f\in {\mathfrak {p}}\setminus \bigcup _{j=1}^{r}{\mathfrak {p}}_{j}\,.$

Wir betrachten das Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R/(f)$. Da in ${}R/(f)$ nach Konstruktion die minimalen Primideale ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ nicht überleben, besitzt ${}{\mathfrak {p}}$ dort eine Höhe ${}\leq d-1$. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Elemente ${}g_{1},\ldots ,g_{d-1}\in R/(f)$, über denen ${}{\mathfrak {p}}$ minimal ist. Es seien ${}f_{j}$ Repräsentenaten der ${}g_{j}$. Dann ist ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ minimal über ${}f_{1},\ldots ,f_{d-1},f$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension ${}d$.

Dann gibt es Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{d}\in {\mathfrak {m}}$ mit

${}\operatorname {rad} {\left(f_{1},\ldots ,f_{d}\right)}={\mathfrak {m}}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{d}$ nennt man auch Parameter des lokalen Ringes. Geometrisch (d.h. bis auf das Radikal) kann man also in jedem lokalen noetherschen Ring das maximale Ideal durch ${}d$ Elemente beschreiben.