Kompakte riemannsche Fläche/Abel-Jacobi/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${}\operatorname {Div} \,(X)_{0}$ die Divisorengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$. Es sei ${}J(X)={\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}/\operatorname {Per}$ die Jacobische Varietät zu ${}X$. Dann nennt man die Abbildung

$\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

die Abel-Jacobi-Abbildung. Dabei ist jeweils ein stetiger Weg von ${}Q_{i}$ nach ${}P_{i}$ zu wählen.

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

$\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

von der Gruppe der Weildivisoren auf ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$ ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Zunächst ist zu zeigen, dass das Ergebnis unabhängig von dem gewählten Weg von ${}Q_{i}$ nach ${}P_{i}$ ist. Wenn ${}\gamma ,\gamma '$ zwei solche Wege sind, so ist ${}\gamma ^{-1}\gamma '$ eine geschlossener Weg mit ${}P_{i}$ als Auf- und Endpunkt und es gilt

${}\int _{\gamma '}\omega =\int _{\gamma \gamma ^{-1}\gamma '}\omega =\int _{\gamma }\omega +\int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega \,$

für alle holomorphen Differentialformen ${}\omega$. Da die Abbildung ${}\omega \mapsto \int _{\gamma ^{-1}\gamma '}\omega$ zum Periodengitter gehört, stimmen die Auswertungen zu ${}\gamma$ und zu ${}\gamma '$ in ${}J(X)$ überein.

Es ist ferner zu zeigen, dass die Abbildung unabhängig davon ist, welchen positiven Punkt des Weildivisors man mit welchem negativen Punkt zusammenordnet. Es seien dazu Punkte ${}Q_{1},Q_{2},P_{1},P_{2}$ gegeben und sei ${}\gamma _{1}$ ein stetiger Weg von ${}Q_{1}$ nach ${}P_{1}$, ${}\gamma _{2}$ ein stetiger Weg von ${}Q_{2}$ nach ${}P_{2}$ und ${}\delta$ ein stetiger Weg von ${}P_{1}$ nach ${}P_{2}$. Dann ist, da man mit beliebigen verbindenden Wegen arbeiten kann,

${}{\begin{aligned}\int _{Q_{1}}^{P_{2}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{1}}\omega &=\int _{\gamma _{1}\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\delta }\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega +\int _{\delta ^{-1}}\omega \\&=\int _{\gamma _{1}}\omega +\int _{\gamma _{2}}\omega \\&=\int _{Q_{1}}^{P_{1}}\omega +\int _{Q_{2}}^{P_{2}}\omega .\end{aligned}}$

Die Homomorphismuseigenschaft ist klar.

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Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann induziert die Abel-Jacobi-Abbildung einen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} {\left(X\right)}_{0}\longrightarrow J(X),\,[\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}]\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

von der Divisorenklassengruppe von ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$.

Beweis

Nach Fakt liegt ein Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Div} \,(X)_{0}\longrightarrow J(X),\,\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

vor. Nach Fakt gehört zu jedem Hauptdivisor und jeder globalen holomorphen Differentialform ${}\omega$ der Ausdruck ${}\sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega$ zur Periodengruppe ${}\operatorname {Per} (\omega )$. Ferner zeigt der Beweis zu Fakt, dass die Zugehörigkeit zur Periodengruppe auf der Existenz von Wegen beruht, die unabhängig von der Differentialform sind. Daher gehört die Auswertung ${}\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}$ zum Periodengitter, siehe Aufgabe. Deshalb faktorisiert die Abel-Jacobi-Abbildung durch die Restklassengruppe modulo der Hauptdivisoren, also durch die Divisorenklassengruppe.

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Diese Abbildung nennt man ebenfalls Abel-Jacobi-Abbildung. Wir möchten zeigen, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, dies ist der Inhalt des Satzes von Abel-Jacobi. Aus der Exponentialsequenz (siehe Beispiel und Fakt) erhält man eine exakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {DKG} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0.$

Die hintere Abbildung ist dabei die Gradabbildung und somit liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,\mathbb {Z} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Über die Abel-Jacobi-Abbildung ist die Gruppe rechts mit der jacobischen Varietät verbunden. Es liegt die Situation

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!?\downarrow &&\downarrow ?\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H_{1}(X,\mathbb {Z} )&{\stackrel {\int }{\longrightarrow }}&{H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&J&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

vor, wobei die untere Zeile die jacobische Varietät definiert und wobei wir die vertikalen Abbildungen links und in der Mitte noch nicht festgelegt haben.

Lemma

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {H^{1}(\exp )}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })_{0}\cong \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}&\\\!\!\!\!\!\operatorname {Res} \downarrow &&\downarrow &\\{H^{0}(X,\Omega )}^{*}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&J&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Dabei steht links der Isomorphismus der Serre-Dualität und rechts die Abel-Jacobi-Abbildung.

Beweis

Die horizontalen Abbildungen sind surjektiv. Da alle Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind, genügt es, die Aussage für das Erzeugendensystem ${}[P]-[Q]$ zu ${}P,Q\in X$ von ${}\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}$ und ein irgendwie gewähltes Urbild ${}c\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ zu zeigen. Es sei ${}\gamma$ ein stetiger Weg von ${}Q$ nach ${}P$. Die Divisorklasse ${}[P]-[Q]$ wird unter der Abel-Jacobi-Abbildung auf die Auswertung ${}\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ für ${}\omega \in H^{0}(X,\Omega )$ und die Kohomologieklasse ${}c$ wird unter der Residuenabbildung auf die Linearform ${}\omega \mapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(c\omega )\right)$ abgebildet. Es ist also

${}[\omega \mapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(c\omega )\right)]=[\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega ]\,$

in ${}J$ zu zeigen. Wir überdecken den Weg ${}\gamma$ mit Kreisscheiben und wählen Übergangspunkte. Wegen der Additivität der Abbildungen können wir annehmen, dass die beiden Punkte in einer offenen Kreisscheibe ${}U_{1}$ liegen. Da die Wegintegrale nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, kann man ${}\gamma$ im Kartenbild durch den direkten linearen Weg von ${}Q$ nach ${}P$ ersetzen. Es sei

${}U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,.$

Damit sind wir in der Situation von Beispiel, d.h. die auf

${}U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$

definierte holomorphe Funktion

${}h(z)=\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)\,$

repräsentiert eine Kohomologieklasse ${}c$, die auf ${}[Q]-[P]$ abbildet. Wir möchten diese Kohomologieklasse im Sinne von Fakt repräsentieren. Dazu seien

${}\gamma ([0,1])\subseteq U_{1}'\subseteq U_{1}^{\prime \prime }\subseteq U_{1}\,$

offenen Scheibenumgebungen mit unterschiedlichen Radien (im Kartenbild). Wir können ${}h$ durch die entsprechende Funktion auf ${}U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])$ bzw. ${}U_{1}^{\prime \prime }\setminus \gamma ([0,1])$ ersetzen. Wir wählen eine ${}C^{\infty }$-differenzierbare Funktion ${}g\in H^{0}(U_{1},{\mathcal {E}})$ die auf ${}U_{1}'$ den Wert ${}1$ und außerhalb von ${}U_{1}^{\prime \prime }$ den Wert ${}0$ besitzt (siehe Fakt). Diese können wir durch ${}0$ auf ganz ${}X$ fortsetzen. Die offenen Mengen ${}U_{1}'$ und ${}U_{2}$ bilden nach wie vor eine offene Überdeckung von ${}X$ und die Funktion ${}0$ auf ${}U_{1}'$ und ${}gh$ auf ${}U_{2}$ bilden eine ${}{\mathcal {E}}$-Realisierung der Kohomologieklasse, da die Differenz auf dem Durchschnitt

${}U_{1}'\cap U_{2}=U_{1}'\setminus \gamma ([0,1])\,$

gleich ${}gh=h$ ist. Sei ${}f=gh$ auf ${}U_{2}$. Es ist dann ${}d^{a}f$ gleich ${}0$ auf ${}U_{1}'$, da ${}h$ holomorph ist, und damit ist ${}d^{a}(f)$ ein globales Element von ${}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(0,1)})$, das ein Urbild der Kohomologieklasse ${}c$ ist. Nach Fakt wird diese Form unter dem durch eine holomorphe Differentialform ${}\omega$ definierten Homomorphismus auf ${}\omega \wedge d^{a}f$ in ${}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})$ abgebildet. Dieses repräsentiert das Bild der Kohomologieklasse ${}c$

${}\operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\omega )(c)\right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge d^{a}f={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\omega \wedge df={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{A_{2}'}\omega \wedge df\,,$

wobei ${}A_{2}'$ der Abschluss von ${}U_{2}'$ sei und wobei die letzte Umformung statthaft ist, da ja ${}df$ außerhalb von ${}A_{2}'$ gleich ${}0$ ist. Es sei ${}\delta$ der einfach durchlaufene Rand von ${}A_{2}'$. Nach Stokes ist dieses Integral gleich

$\int _{\delta }f\omega .$

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Satz

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

$\operatorname {DKG} {\left(X\right)}_{0}\longrightarrow J(X),\,[\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}]\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

von der Divisorenklassengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$ ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Die Abbildung ist nach Fakt ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus. Aus Fakt folgt, dass er surjektiv ist.

$\Box$