Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Maximumsprinzip/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}B=B\left(a,r\right)\subseteq {\mathbb {C} }$ ein abgeschlossener Ball und sei ${}f\colon B\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine stetige Funktion, die in ${}U{\left(a,r\right)}$ holomorph sei.

Dann gilt für den Weg

${}\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}\,$

die Gleichheit

${}f(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$

Beweis

Die erste Gleichung ist die Integralformel von Cauchy. Mit dem angegebenen Weg ${}\gamma (t)=a+re^{{\mathrm {i} }t}$ ist ${}\gamma '(t)=r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}$ und damit ist

${}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}{re^{{\mathrm {i} }t}}}r{\mathrm {i} }e^{{\mathrm {i} }t}dt={\mathrm {i} }\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt\,.$

$\Box$

Diese Aussage wird insbesondere auf holomorphe Funktionen ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ und abgeschlossene Kreisscheiben ${}B\left(a,r\right)\subseteq U$ angewendet, wo die Holomorphie sichert, dass die Funktion auf dem Rand stetig ist. Der folgende Satz heißt Maximumsprinzip.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit

${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$

für alle ${}z\in G$.

Dann ist ${}f$ konstant.

Beweis

Wir zeigen, dass ${}f$ in einer offenen Kreisscheibenumgebung von ${}a$ konstant ist und daher wegen Fakt überhaupt konstant ist. Es sei

${}B\left(a,r\right)\subseteq U\,.$

Mit Fakt ist dann

${}{\begin{aligned}\vert {f(a)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}dt}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert dt\\&=\vert {f(a)}\vert ,\end{aligned}}$

daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere

${}\int _{0}^{2\pi }\vert {f(a)}\vert -\vert {f{\left(a+re^{{\mathrm {i} }t}\right)}}\vert dt=0\,,$

wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe der Integrand bereits konstant gleich ${}0$. Dies gilt auch für jeden Radius ${}\leq r$, und daher ist überhaupt ${}\vert {f(z)}\vert =\vert {f(a)}\vert$ in einer offenen Umgebung von ${}a$. Aus Fakt ergibt sich, dass ${}f$ selbst in der Umgebung konstant ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion und ${}B\left(a,r\right)\subseteq U$.

Dann wird das Maximum von ${}\vert {f(z)}\vert$ auf ${}B\left(a,r\right)$ auf dem Rand von ${}B\left(a,r\right)$ angenommen.

Beweis

Wegen der Kompaktheit der abgeschlossenen Kreisscheibe nimmt die stetige Funktion ${}f$ nach Fakt ihr Maximum an, sagen wir im Punkt ${}P\in B\left(a,r\right)$. Nach Fakt kann dieser Punkt (außer bei ${}f$ konstant) nicht auf der offenen Kreisscheibe, sondern muss auf dem Rand liegen.

$\Box$