Kurs:Algebraische Kurven/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	4	4	5	0	4	7	0	0	0	7	4	4	1	49

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
2. Ein ${}R$-Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
4. Ein glatter Punkt ${}P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve ${}C=V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.
5. Ein diskreter Bewertungsring.
6. Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den globalen Schnittring zu ${}D(f)$.
2. Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
3. Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ in ${}n$ Variablen und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$ der Polynomring in ${}n+1$ Variablen. Zeige, dass die Homogenisierung (bezüglich ${}Z$) mit der Multiplikation verträglich ist.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}M=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq K^{2}$ eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen Körper.

1. Zeige, dass man ${}M$ als Durchschnitt von zwei algebraischen Kurven erhalten kann.
2. Zeige, dass man ${}M$ als Durchschnitt von zwei irreduziblen algebraischen Kurven erhalten kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}f\notin {\mathfrak {p}}$ gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das ${}{\mathbb {C} }$- Spektrum des kommutativen Monoids ${}M=\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(n)$ aus ${}n$ irreduziblen Komponenten besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}$ sind.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{3}Z+Z^{4}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

glatt ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Fermatkubik

${}V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

mit der Geraden ${}V_{+}{\left(X+2Y+Z\right)}$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme zu einem Punkt ${}(a,b)\in {\mathbb {P} }_{}^{1}$ die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt

${\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{(1,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto (y,z).$