Kurs:Algebraische Kurven/14/Klausur


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 0 3 4 4 5 0 4 7 0 0 0 7 4 1 0 45



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring .
  2. Ein -Modul über einem kommutativen Ring .
  3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge .
  4. Ein glatter Punkt auf einer ebenen algebraischen Kurve .
  5. Ein diskreter Bewertungsring.
  6. Der projektive Raum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den globalen Schnittring zu .
  2. Der Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.
  3. Der Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und der Polynomring in Variablen. Zeige, dass die Homogenisierung (bezüglich ) mit der Multiplikation verträglich ist.


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Es sei eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen Körper.

  1. Zeige, dass man als Durchschnitt von zwei algebraischen Kurven erhalten kann.
  2. Zeige, dass man als Durchschnitt von zwei irreduziblen algebraischen Kurven erhalten kann.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent. Zeige, dass es ein Primideal mit gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei . Zeige, dass das -Spektrum des kommutativen Monoids aus irreduziblen Komponenten besteht, die alle isomorph zur affinen Geraden sind.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über Gleichungen für monomiale Kurven.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über Automorphismen auf dem Potenzreihenring.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme zu einem Punkt die Gleichung für die Urbildgerade zur Projektion weg von einem Punkt


Aufgabe (0 Punkte)