Kurs:Algebraische Kurven/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	3	6	5	3	3	4	5	5	3	5	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Grad eines Polynoms ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
2. Die affin-lineare Äquivalenz von affin-algebraischen Mengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
4. Das ${}K$-Spektrum zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}R$.
5. Ein diskreter Bewertungsring.
6. Eine projektive ebene Kurve.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
2. Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.
3. Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Neilschen Parabel ${}V(Y^{2}-X^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ mit

1. den Geraden durch dem Nullpunkt,
2. den zu den Achsen parallelen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit ${}p$ Elementen, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte die beiden Kreise

$X^{2}+Y^{2}=1\,\,{\text{ und }}\,\,4X^{2}+3Y^{2}=9.$

Zeige, dass die beiden Kreise über ${}\mathbb {R}$ affin-linear äquivalent sind, aber nicht über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.

Aufgabe * (5 Punkte)

Führe für die rationale Quadrik

${}C=V(X^{2}+Y^{2}-5)\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$

eine rationale Parametrisierung im Sinne von Satz 7.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) mit dem Hilfspunkt ${}(1,2)$ und einer geeigneten Geraden durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Schreibe den Restklassenring ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von ${}X^{3}+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und ${}K$ ein Körper. Es sei ${}m\in M$ und ${}T^{m}\in K[M]$. Zeige, dass ${}m$ genau dann eine Einheit in ${}M$ ist, wenn ${}T^{m}$ eine Einheit in ${}K[M]$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom

$V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V$

gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid ${}M\subseteq \mathbb {N}$, das durch ${}4,7$ und ${}17$ erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings ${}K[\![T]\!]$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes

${}C=V(X^{3}+Y^{3}-3XY)\,$

mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ${}3$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

${}V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

$\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}},\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)$

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich ${}0$ sind.