Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 13

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine reduzierte ${}K$- Algebra von endlichem Typ. Beweise den Identitätssatz in der folgenden Gestalt: Wenn für ${}f,g\in R$ gilt, dass ${}f(P)=g(P)$ ist für alle ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$, so ist ${}f=g$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Man definiert die Nenneraufnahme

$R_{S}$

schrittweise wie folgt. Es sei zunächst ${}M$ die Menge der formalen Brüche mit Nenner in ${}S$, also

${}M={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r\in R,\,s\in S\right\}}\,.$

Zeige, dass durch

${\frac {r}{s}}\sim {\frac {r'}{s'}}{\text{ genau dann, wenn es ein }}t\in S{\text{ mit }}trs'=tr's{\text{ gibt}},$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert ist. Wir bezeichnen mit ${}R_{S}$ die Menge der Äquivalenzklassen. Definiere auf ${}R_{S}$ eine Ringstruktur und definiere einen Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow R_{S}$.

In den folgenden Aufgaben dürfen Sie, wenn Sie wollen, bei Nenneraufnahmen annehmen, dass Integritätsbereiche vorliegen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow A$

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${}\varphi (s)$ eine Einheit in ${}A$ ist für alle ${}s\in S$. Zeige: Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Die folgende Aufgabe verwendet den Begriff des saturierten multiplikativen Systems.

Ein multiplikatives System ${}S$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist ${}g\in R$ und gibt es ein ${}f\in S$, das von ${}g$ geteilt wird, so ist auch ${}g\in S$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}A,B$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi :A\rightarrow B$ ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(B^{\times })$ der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ${}A$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}R$ und ${}S$ kommutative ${}K$-Algebren von endlichem Typ. Es sei ${}f\in R$ und ${}\varphi :R\rightarrow S$ sei ein ${}K$- Algebrahomomorphismus Zeige, dass die Spektrumsabbildung ${}\varphi ^{*}$ genau dann durch ${}D(f)$ faktorisiert, wenn ${}\varphi (f)$ eine Einheit in ${}S$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ mit zugehöriger Nenneraufnahme ${}R_{f}$. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte zwei parallele Geraden ${}V$ und das Achsenkreuz ${}W$. Beschreibe eine möglichst natürliche surjektive Abbildung zwischen ${}V$ und ${}W$ (in welche Richtung?), und zwar sowohl geometrisch als auch algebraisch. Gibt es auch eine surjektive polynomiale Abbildung in die andere Richtung?

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die durch ${}Y^{2}=X^{3}+X^{2}$ gegebene Kurve ${}C$ (siehe Beispiel 6.3) und die offene Menge ${}U=D(X)\subseteq C$. Finde eine abgeschlossene Realisierung von ${}U$ in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ und zeige, dass es auch eine solche Realisierung in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gibt. Skizziere die Bildkurve unter der Abbildung

$U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {1}{x}},y\right).$

Ist ${}U$ isomorph zu einer offenen Menge der affinen Geraden?

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass ein Integritätsbereich ein zusammenhängender Ring ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$. Es sei ${}f$ sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ${}f=0$ ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\times S$ der Produktring ${}R\times S$. Zeige, dass die Teilmenge ${}R\times 0$ ein Hauptideal ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der nicht leer und nicht zusammenhängend sei. Zeige, dass es dann eine stetige Abbildung ${}f:X\rightarrow \mathbb {R}$, ${}f\neq 0,1$, (${}\mathbb {R}$ sei mit der metrischen Topologie versehen) gibt, die idempotent im Ring der stetigen Funktionen auf ${}X$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die nilpotenten und die idempotenten Elemente in ${}\mathbb {Z} /(175)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven

$V(X^{2}+Y^{2}-1){\text{ und }}V(Y-X^{2}).$

Identifiziere den Restklassenring

${}R=K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1,Y-X^{2})\,$

mit einem Produktring und beschreibe die Restklassenabbildung ${}K[X,Y]\rightarrow R$ mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in ${}K[X,Y]$ für sämtliche idempotenten Elemente des Produktringes.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit ${}F(P_{i})=a_{i}$ für alle ${}i=1,\ldots ,n$ gibt.