Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die Multiplizität von ${}M$ mit der Führungszahl von ${}M$ übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die Einbettungsdimension von ${}M$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und ${}R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen ${}I\subseteq M$ die Teilmenge

${}R[I]=\bigoplus _{m\in I}T^{m}\subseteq R[M]\,$

ein Ideal in ${}R[M]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid ${}M$ derart, dass eine Isomorphie

${}K[M]\cong K[X,Y,U,V]/(UX-VY)\,$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ${}F\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ${}R_{F}\subseteq S_{F}$ ganz ist.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M\subset \mathbb {N}$ das durch ${}3,5,7$ erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.

Aufgabe (4 Punkte)

Klassifiziere sämtliche numerische Monoide ${}M$ (mit teilerfremden Erzeugern) mit Führungszahl ${}f(M)\leq 6$. Man gebe jeweils die Einbettungsdimension, die Multiplizität und den Singularitätsgrad an.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {N}$ ein numerisches Monoid und ${}K$ ein Körper. Definiere

$M_{+}=M\cap \mathbb {N} _{+}{\text{ und }}nM_{+}={\left\{m\in M\mid {\text{es gibt eine Darstellung }}m=m_{1}+\ldots +m_{n}{\text{ mit }}m_{i}\in M_{+}\right\}}.$

Zeige, dass ${}nM_{+}$ „Ideale“ in ${}M$ sind, dass zu ${}M_{+}$ ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}K[M]$ gehört, und dass das zu ${}nM_{+}$ gehörige Ideal gleich ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei ${}K$ ein Körper. In welcher Beziehung steht ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M\times N]\right)}$ zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ und ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}$?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ ganz über ${}R$ und ${}T$ ganz über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ ganz über ${}R$ ist.

(Vergleiche Aufgabe 10.7).