Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesung 19

Restklassendarstellung für monomiale Kurven

Sei ${}M$ ein numerisches Monoid, das von den teilerfremden natürlichen Zahlen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugt werde. Die zugehörige Surjektion ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M\subseteq \mathbb {N}$ führt zu einer Surjektion

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[M],\,X_{i}\longmapsto T^{e_{i}},$

und einer abgeschlossenen Einbettung ${}C=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\hookrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Durch welche Gleichungen lässt sich ${}C$ beschreiben?

Satz

Es sei ${}M\subseteq N$ ein durch teilerfremde Elemente ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ erzeugtes Untermonoid und sei ${}\mathbb {N} ^{n}\rightarrow M$ die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus ${}\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\rightarrow K[M]$.

Dann wird das Kernideal durch

$\ker \varphi ={\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}:\,I_{1},I_{2}\subseteq \{1,\ldots ,n\}{\text{ disjunkt }},\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}=\sum _{i\in I_{2}}s_{i}e_{i}\right)}\,$

(mit $r_{i},s_{i}\geq 1$) beschrieben.

Beweis

Dass die angegebenen Elemente zum Kernideal gehören folgt direkt aus

${}\varphi {\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}\right)}=\prod _{i\in I_{1}}{\left(t^{e_{i}}\right)}^{r_{i}}=t^{\sum _{i\in I_{1}}r_{i}e_{i}}\,.$

Für die Umkehrung sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit ${}\varphi (F)=0$. Wir schreiben

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,$

(mit $\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})$). Daher ist

${}\varphi (F)=\sum _{\nu }a_{\nu }t^{\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}}=\sum _{k=0}{\left(\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }\right)}t^{k}\,.$

Da dieses Polynom gleich ${}0$ ist müssen alle Koeffizienten ${}0$ sein, d.h. zu jedem ${}k$ gehört auch

${}F_{k}=\sum _{\nu :\,\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k}a_{\nu }X^{\nu }\,$

zum Kern. Wir können also annehmen, dass in ${}F$ nur Monome ${}X^{\nu }$ mit dem gleichen Wert ${}\sum _{i=1}^{n}\nu _{i}e_{i}=k$ vorkommen. Betrachten wir ein solches Monom aus ${}F$, sagen wir ${}X^{\nu }$ (mit $a_{\nu }\neq 0$). Es muss in ${}F$ mindestens noch ein weiteres Monom, sagen wir ${}X^{\mu }$, vorkommen, da ein einzelnes Monom nicht auf ${}0$ abgebildet wird. Wir schreiben

${}F=a_{\nu }(X^{\nu }-X^{\mu })+{\left(F-a_{\nu }X^{\nu }+a_{\nu }X^{\mu }\right)}\,.$

Im Summand rechts kommt ${}X^{\nu }$ nicht mehr vor, und es kommt auch kein neues Monom hinzu. In ${}X^{\nu }-X^{\mu }$ können wir diejenigen Variablen, die beidseitig auftreten, so weit ausklammern, dass sich ein Ausdruck der Form

${}X^{\nu }-X^{\mu }=X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}{\left(\prod _{i\in I_{1}}X_{i}^{r_{i}}-\prod _{i\in I_{2}}X_{i}^{s_{i}}\right)}\,$

mit disjunkten ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ und mit ${}\sum _{i\in I_{1}}e_{i}r_{i}=\sum _{i\in I_{2}}e_{i}s_{i}$ ergibt. Der linke Summand in obiger Beschreibung von ${}F$ gehört also zu dem von den angegebenen Binomen erzeugten Ideal und wir können mit dem rechten Summand, in dem ein Monom weniger vorkommt, fortfahren.

$\Box$

Die im vorstehenden Satz auftretenden Gleichungen nennmt man binomiale Gleichungen. Die einfachsten binomialen Gleichungen sind von der Bauart ($i\neq j$)

${}X_{i}^{e_{j}/\operatorname {ggT} (e_{i},e_{j})}=X_{j}^{e_{i}/\operatorname {ggT} (e_{i},e_{j})}\,.$

Im Fall von ebenen monomialen Kurven ist das auch die einzige Gleichung.

Korollar

Es sei ${}C$ die durch ${}t\mapsto (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ (mit ${}e_{1},e_{2}$ teilerfremd) gegebene monomiale ebene Kurve.

Dann ist

${}C=V(X^{e_{2}}-Y^{e_{1}})\,.$

Beweis

Dies folgt sofort aus Satz 19.1.

$\Box$

Bei monomialen Raumkurven lassen sich die beschreibenden Gleichungen auch noch einigermaßen einfach bestimmen, da man immer eine Variable isolieren kann.

Beispiel

Es sei ${}C\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ die „gedrehte Kubik“, also das Bild der monomialen Abbildung, die durch ${}t\mapsto (t,t^{2},t^{3})$ gegeben ist. Diese Kurve ist isomorph zu einer affinen Geraden und insbesondere glatt. Das beschreibende Ideal ist nach Satz 19.1 gleich

${}{\mathfrak {a}}=(Y-X^{2},Z-X^{3},Y^{3}-Z^{2},Z-XY)=(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$

Die beiden letzten Idealerzeuger sind dabei überflüssig, da sie sich durch die beiden anderen ausdrücken lassen. Insgesamt ist also

${}C=V(Y-X^{2},Z-X^{3})\,.$

Die Bilder von ${}C$ unter den drei verschiedenen Projektion sind

$C_{1}=V(Z^{2}-Y^{3}),\,C_{2}=V(Z-X^{3}),\,C_{3}=V(Y-X^{2}).$

Dabei sind ${}C_{2}$ und ${}C_{3}$ isomorph zur affinen Geraden (als Graph einer Abbildung), während ${}C_{1}$ die singuläre Neilsche Parabel ist.

Beispiel

Es sei ${}C$ die durch

$t\longmapsto (t^{3},t^{4},t^{5})=(x,y,z)$

gegebene monomiale Kurve. Für jede der drei Variablen müssen wir gemäß Satz 19.1 schauen, welche Potenzen davon, wenn man die ${}t$-Potenz substituiert, sich auch als Monom in den beiden anderen Variablen ausdrücken lassen.

Zunächst haben wir die Gleichungen, in denen jeweils nur zwei Variablen vorkommen. Das sind

$Y^{3}=X^{4},\,Z^{3}=X^{5},\,Z^{4}=Y^{5}.$

Hier kann es, wie im ebenen Fall, immer nur eine Beziehung geben.

In den Relationen, wo alle drei Variablen beteiligt sind, kommt eine der Variablen allein vor. Starten wir mit ${}X$. Zunächst lassen sich ${}X$ und ${}X^{2}$ nicht durch die anderen Variablen ausdrücken, dafür haben wir ${}X^{3}=T^{9}=YZ$. Eine andere (davon unabhängige) Kombination ist nicht möglich. Grundsätzlich impliziert eine mehrfache Darstellung ${}X^{k}=Y^{i}Z^{j}=Y^{a}Z^{b}$, dass man zwischen Potenzen von ${}Y$ und von ${}Z$ eine Beziehung hat, da man ja die kleineren Potenzen rauskürzen kann. Da wir alle Relationen mit nur zwei Variablen schon aufgelistet haben, liefert eine Potenz von ${}X$ immer nur maximal eine neue Relation. Wir behaupten, dass wir für ${}X$ alleinstehend schon fertig sind. Ist nämlich ${}X^{k}=Y^{i}Z^{j}$, so ist ${}k\geq 3$. Bei ${}i=0$ oder ${}j=0$ haben wir die Gleichungen schon aufgelistet. Es sei also ${}i,j\geq 1$. Dann kann man aber mittels der Gleichung ${}X^{3}=YZ$ die Exponenten in der Gleichung kleiner machen (indem man den Exponenten von ${}X$ um ${}3$ reduziert und die Exponenten von ${}Y$ und von ${}Z$ um ${}1$).

Für ${}Y$ hat man sofort die Gleichung ${}Y^{2}=ZX$, mit der man wieder alle anderen Gleichungen reduzieren kann.

Für ${}Z$ hat man ${}Z^{2}=X^{2}Y$ und ${}Z^{3}=XY^{3}$. Es gibt keine kleineren Monome in ${}X$ und ${}Y$, die man als Potenz von ${}Z$ ausdrücken kann. Daher kann man jede andere Relation mittels einer von diesen auf eine frühere zurückführen.

Insgesamt haben wir also für die Kurve ${}C$ die Gleichungen

$C=V(Y^{3}-X^{4},Z^{3}-X^{5},Z^{4}-Y^{5},X^{3}-YZ,Y^{2}-XZ,Z^{2}-X^{2}Y,Z^{3}-XY^{3})$

Ganzheit

Der Koordinatenring zur Neilschen Parabel ist

$R=K[t^{2},t^{3},t^{4},\ldots ]\subseteq S=K[t].$

Das Element ${}t$ gehört nicht zu ${}R$, allerdings gehört das Quadrat ${}t^{2}$ dazu. Man sagt, dass ${}t$ eine Ganzheitsgleichung über dem Unterring ${}R$ erfüllt.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ heißt eine Gleichung der Form

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$

wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Ein Element ${}x\in S$ heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente ${}x\in S$, die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$.

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$, wenn jedes Element ${}x\in S$ ganz über ${}R$ ist.

${}S$ ist genau dann ganz über ${}R$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}S$ ist.

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Für ein Element ${}x\in S$ sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}x$ ist ganz über ${}R$.
2. Es gibt eine ${}R$-Unteralgebra ${}T$ von ${}S$ mit ${}x\in T$ und die ein endlicher ${}R$-Modul ist.
3. Es gibt einen endlichen ${}R$-Untermodul ${}M$ von ${}S$, der einen Nichtnullteiler aus ${}S$ enthält, mit ${}xM\subseteq M$.

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2). Wir betrachten die von den Potenzen von ${}x$ erzeugte ${}R$-Unteralgebra ${}R[x]$ von ${}S$, die aus allen polynomialen Ausdrücken in ${}x$ mit Koeffizienten aus ${}R$ besteht. Aus einer Ganzheitsgleichung

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,$

ergibt sich

${}x^{n}=-r_{n-1}x^{n-1}-r_{n-2}x^{n-2}-\cdots -r_{1}x-r_{0}\,.$

Man kann also ${}x^{n}$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ausdrücken. Durch Multiplikation dieser letzten Gleichung mit ${}x^{i}$ kann man jede Potenz von ${}x$ mit einem Exponenten ${}\geq n$ durch einen polynomialen Ausdruck von einem kleineren Grad ersetzen. Insgesamt kann man dann aber all diese Potenzen durch polynomiale Ausdrücke vom Grad ${}\leq n-1$ ersetzen. Damit ist

${}R[x]=R+Rx+Rx^{2}+\cdots +Rx^{n-2}+Rx^{n-1}\,$

und die Potenzen ${}x^{0}=1,x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ bilden ein endliches Erzeugendensystem von ${}T=R[x]$.

(2) ${}\Rightarrow$ (3). Sei ${}x\in T\subseteq S$, ${}T$ eine ${}R$-Unteralgebra, die als ${}R$-Modul endlich erzeugt sei. Dann ist ${}xT\subseteq T$, und ${}T$ enthält den Nichtnullteiler ${}1$.

(3) ${}\Rightarrow$ (1). Sei ${}M\subseteq S$ ein endlich erzeugter ${}R$-Untermodul mit ${}xM\subseteq M$. Es seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$. Dann ist insbesondere ${}xy_{i}$ für jedes ${}i$ eine ${}R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$. Dies bedeutet

${}xy_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$

mit ${}r_{ij}\in R$, oder, als Matrix geschrieben,

${}x{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&\ldots &r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&\ldots &r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n,1}&r_{n,2}&\ldots &r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}0={\begin{pmatrix}x-r_{1,1}&-r_{1,2}&\ldots &-r_{1,n}\\-r_{2,1}&x-r_{2,2}&\ldots &-r_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-r_{n,1}&-r_{n,2}&\ldots &x-r_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}S$), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ (${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt ${}((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also ${}(\det A)y_{j}=0$ für alle ${}j$ und damit

${}(\det A)z=0\,$

für alle ${}z\in M$. Da ${}M$ nach Voraussetzung einen Nichtnullteiler enthält, muss ${}\det A=0$ sein. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${}x$ vom Grad ${}n$, so dass eine Ganzheitsgleichung vorliegt.

$\Box$

Korollar

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ eine ${}R$-Unteralgebra von ${}S$.

Beweis

Die Ganzheitsgleichungen $X-r,\,r\in R$, zeigen, dass jedes Element aus ${}R$ ganz über ${}R$ ist. Seien ${}x_{1}\in S$ und ${}x_{2}\in S$ ganz über ${}R$. Nach der Charakterisierung der Ganzheit gibt es endliche ${}R$-Unteralgebren ${}T_{1},T_{2}\subseteq S$ mit ${}x_{1}\in T_{1}$ und ${}x_{2}\in T_{2}$. Es sei ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{1}$ und ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ ein ${}R$-Erzeugendensystem von ${}T_{2}$. Wir können annehmen, dass ${}y_{1}=z_{1}=1$ ist. Betrachte den endlich erzeugten ${}R$-Modul

${}T=T_{1}\cdot T_{2}=\langle y_{i}z_{j},\,i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m\rangle \,,$

der offensichtlich ${}x_{1}+x_{2}$ und ${}x_{1}x_{2}$ (und ${}1$) enthält. Dieser ${}R$-Modul ${}T$ ist auch wieder eine ${}R$-Algebra, da für zwei beliebige Elemente gilt

${}{\left(\sum r_{ij}y_{i}z_{j}\right)}{\left(\sum s_{kl}y_{k}z_{l}\right)}=\sum r_{ij}s_{kl}y_{i}y_{k}z_{j}z_{l}\,,$

und für die Produkte gilt ${}y_{i}y_{k}\in T_{1}$ und ${}z_{j}z_{l}\in T_{2}$, so dass diese Linearkombination zu ${}T$ gehört. Dies zeigt, dass die Summe und das Produkt von zwei ganzen Elementen wieder ganz ist. Deshalb ist der ganze Abschluss ein Unterring von ${}S$, der ${}R$ enthält. Also liegt eine ${}R$-Unteralgebra vor.

$\Box$

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung. Man nennt ${}R$ ganz-abgeschlossen in ${}S$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}R$ ist.

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