Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 20

Zerlegungsverhalten

Wir besprechen nun systematisch, wie eine Primzahl ${}p$ in einem Zahlbereich ${}R$ zerlegt wird, also wie viele Primideale von ${}R$ oberhalb von ${}(p)$ liegen, wie diese sich zueinander verhalten und wie die Abhängigkeit von ${}p$ aussieht. Viele Eigenschaften hängen dabei allein vom Faserring ${}R/pR$ ab, von dem wir nach Korollar 8.8 wissen, dass ${}R/pR$ als additive Gruppe isomorph zu ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{n}$ ist, wenn ${}n$ der Grad der Erweiterung ist.

Definition

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$ und ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}})$ den Trägheitsgrad von ${}{\mathfrak {q}}$ über ${}{\mathfrak {p}}$.

Bemerkung  

Wenn ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ ist und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal von ${}S$ über ${}{\mathfrak {m}}$, so ist der Trägheitsgrad einfach der Grad der Körpererweiterung

$R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow S/{\mathfrak {n}}$

(der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper). Wenn ${}R$ und damit auch ${}S$ ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik ${}p$, und daher liegt eine Erweiterung der Form ${}{\mathbb {F} }_{q}\subseteq {\mathbb {F} }_{q'}$ mit ${}q=p^{e}$ und ${}q'=p^{e'}$ vor.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}R\subseteq S$ eine endliche Erweiterung der Form ${}S=R[X]/(F)$ mit einem normierten Polynom ${}F\in R[X]$ vom Grad ${}d$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal von ${}R$.

Dann ist die Summe über alle Trägheitsgrade zu Primidealen über ${}{\mathfrak {p}}$ durch ${}d$ beschränkt.

Beweis

Durch Übergang mittels ${}R\rightarrow \kappa ({\mathfrak {p}})$ kann man direkt annehmen, dass ${}R=K$ ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung ${}K\subseteq K[X]/(F)=:B$ vor. Die Primideale von ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ entsprechen den Primidealen von ${}B$ und damit den irreduziblen Teilern von ${}F$ in ${}K[X]$. Sei ${}F=F_{1}^{n_{1}}\cdots F_{k}^{n_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von ${}F$ in ${}K[X]$. Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die

${}K\subseteq K[X]/(F_{j})\,.$

Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Primideal von ${}R$ mit der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

in ${}S$. Die Körpererweiterungen ${}\kappa ({\mathfrak {p}})\subseteq \kappa ({\mathfrak {q}}_{j})$ haben die Trägheitsgrade ${}f_{j}$.

Dann ist

${}n=\sum _{j=1}^{k}e_{j}f_{j}\,.$

Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist

${}S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,.$

Wir können über dem diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist ${}S$ ein freier ${}R$-Modul vom Rang ${}n$ und somit ist

${}S/{\mathfrak {p}}S=S\otimes _{R}R/{\mathfrak {p}}\,$

ein ${}R/{\mathfrak {p}}$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Oben rechts steht das Produkt der ${}R/{\mathfrak {p}}$-Vektorräume ${}S/{\mathfrak {q}}_{j}^{e_{j}}$ und es ist zu zeigen, dass deren ${}R/{\mathfrak {p}}$-Dimension gleich ${}e_{j}f_{j}$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über ${}e=e_{j}$, wobei der Induktionsanfang für ${}e=1$ die Definition des Trägheitsgrades ${}f_{j}$ ist. Wegen ${}{\mathfrak {q}}^{e+1}\subseteq {\mathfrak {q}}^{e}$ liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Dabei ist

${}{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}={\mathfrak {q}}^{e}S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}^{e+1}S_{\mathfrak {q}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=S/{\mathfrak {q}}\,.$

Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.

$\Box$

Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch fundamentale Gleichung. Nach Lemma 18.3 liegt genau dann Verzweigung oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ vor, wenn einer der Verzweigungsindizes ${}e_{j}$ größer als ${}1$ ist.

Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Ein von ${}0$ verschiedenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ heißt voll zerlegt in ${}S$, wenn es ${}n$ Primideale in ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

Im voll zerlegten Fall ist ${}e_{j}=f_{j}=1$ für ${}j=1,\ldots ,n$. Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper ${}R/{\mathfrak {p}}$ überein.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Ein von ${}0$ verschiedenes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ heißt unzerlegt in ${}S$, wenn es genau ein Primideal in ${}S$ oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ gibt.

In diesem Fall ist ${}n=ef$.

Beispiel

Wir betrachten die Ringerweiterung ${}\mathbb {R} [X]\subset {\mathbb {C} }[X]$. Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper ${}\mathbb {R} (X)\subset {\mathbb {C} }(X)$ vor, und ${}{\mathbb {C} }[X]$ ist der ganze Abschluss von ${}\mathbb {R} [X]$ in ${}{\mathbb {C} }(X)$. Die Primideale ${}\neq 0$ von ${}\mathbb {R} [X]$ sind von der Form ${}(X-a)$ mit ${}a\in \mathbb {R}$ oder von der Form ${}(X^{2}+bX+c)$ mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu ${}{\mathbb {C} }$. Die Primideale in ${}{\mathbb {C} }[X]$ sind alle von der Form ${}(X-a)$ mit ${}a\in {\mathbb {C} }$.

In der Erweiterung liegt über dem Primideal ${}(X-a)$ das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist ${}1$ und die Restekörpererweiterung ist ${}\mathbb {R} \subset {\mathbb {C} }$, der Trägheitsgrad ist also ${}2$. Zu einem Primideal ${}(X^{2}+bX+c)$ zu einem Polynom ohne reelle Nullstelle seien ${}z$ und ${}{\overline {z}}$ die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In ${}{\mathbb {C} }[X]$ gilt die Idealzerlegung ${}(X^{2}+bX+c)=(X-z)(X-{\overline {z}})$. Die Verzweigungsordnungen sind also ${}1$ und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also ${}1$. Diese Primideale sind voll zerlegt.

Beispiel

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=\mathbb {Z} [x]$. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst ${}q=5$. Hier ist über ${}\mathbb {Z} /(5)$

${}(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,$

und somit ${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}$. Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von ${}(5)$ und dessen Restklassenkörper ist ${}\mathbb {Z} /(5)$, der Trägheitsgrad ist also ${}1$ und der Verzweigungsindex ist ${}4$.

Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen ${}q\neq 5$ versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei

${}v=x-x^{2}-x^{3}+x^{4}\,.$

Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel 17.5) zeigt ${}v^{2}=5$, d.h. es liegt ein Zwischenring

${}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\subset \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [x^{3}+x^{2}]=S\subset \mathbb {Z} [x]\,$

vor, wobei der Ganzheitsring zu ${}{\sqrt {5}}$ mit Satz 9.8 bestimmt wurde.

Für

${}q=1,4\mod 5\,$

ist ${}5$ ein Quadrat modulo ${}q$. Über diesen Primzahlen liegen in ${}S$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(q)$ und dem Trägheitsgrad ${}1$. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad ${}2$. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von ${}q$ ab.

Bei ${}q=11$ sind ${}1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.$

Über ${}(11)$ liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad ${}1$. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen ${}q$ mit ${}q=1\mod 5$ nach Korollar 23.3.

Bei ${}q=4\mod 5$ gibt es nur die ${}1$ als fünfte Einheitswurzel und es gilt

$X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}X+1\right)}\,,$

wobei für ${}{\sqrt {5}}$ eine Quadratwurzel von ${}5$ aus ${}\mathbb {Z} /(q)$ einzusetzen ist. Bei ${}q=19$ ist beispielsweise ${}9^{2}=5$ und daher ist

$X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+5X+1\right)}{\left(X^{2}+15X+1\right)}\,.$

Bei ${}q=3\mod 5$

Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt (also nicht unzerlegt) ist. Für das folgende Beispiel siehe auch Korollar 22.9.

Beispiel

Es seien ${}a,b\in \mathbb {Z}$ verschiedene quadratfreie Zahlen, sei

${}\mathbb {Q} \subset L=\mathbb {Q} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\,$

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad ${}4$ und sei

${}T=\mathbb {Z} [{\sqrt {a}},{\sqrt {b}}]\subseteq S\,$

der Ganzheitsring von ${}\mathbb {Z}$ in ${}L$, wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen ${}T$ und ${}S$ irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl ${}p$. Der beschreibende Ring ist

${}T\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} [X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)\,.$

Wir beschränken uns auf Primzahlen ${}\geq 3$, die weder ${}a$ noch ${}b$ teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ sind. Wenn ${}a$ (entsprechend für ${}b$) ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist, sagen wir

${}a=r^{2}=(-r)^{2}\,,$

so ist

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/((X-r)(X+r),Y^{2}-b)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))[X]/((X-r)(X+r))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b))\times (\mathbb {Z} /(p)[Y]/(Y^{2}-b)),\end{aligned}}$

wobei die letzte Identifizierung durch ${}X\mapsto (r,-r)$ gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und ${}(p)$ zerfällt in ${}T$ und dann auch in ${}S$ in zumindest zwei Primideale.

Wenn hingegen sowohl ${}a$ als auch ${}b$ Nichtquadrate in ${}\mathbb {Z} /(p)$ sind, so ist das Produkt ${}ab$ ein Quadrat, sagen wir ${}ab=s^{2}=(-s)^{2}$. Dann gelten, da ja ${}a$ eine Einheit ist, in ${}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]$ die Idealgleichheiten

${}{\begin{aligned}(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=(X^{2}-a,aY^{2}-ab)\\&=(X^{2}-a,aY^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,X^{2}Y^{2}-s^{2})\\&=(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\end{aligned}}$

und damit ist

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,Y^{2}-b)&=\mathbb {Z} /(p)[X,Y]/(X^{2}-a,(XY-s)(XY-s))\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/(XY-s)(XY-s)\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))[Y]/{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}{\left(Y-{\frac {s}{X}}\right)}\\&=(\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a))\times (\mathbb {Z} /(p)[X]/(X^{2}-a)),\end{aligned}}$

es liegt also wieder ein Produktring vor.

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