Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 21

Invariantenringe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ der zugehörige Zahlbereich. Welche Besonderheiten gelten für ${}R$, wenn die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung ist, wenn also die Anzahl der ${}\mathbb {Q}$- Algebraautomorphismen von ${}L$ mit dem Grad der Erweiterung übereinstimmt. Wir werden gleich sehen, dass die Körperautomorphismen auf ${}R$ Ringautomorphismen induzieren und dass daher die Galoisgruppe auch auf ${}R$ operiert. Dies bewirkt, dass es auf ${}R$ bzw. ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ Symmetrien gibt. Wir fixieren einige Sprechweisen. Unter der Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen versteht man einen Gruppenhomomorphismus ${}G\rightarrow \operatorname {Aut} \,R$.

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${}R$ unter der Operation von ${}G$.

Dies ist eine Verallgemeinerung des aus der Galoistheorie bekannten Konzeptes eines Fixkörpers. Eine endliche Körpererweiterung ist nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) genau dann galoissch, wenn der Fixkörper von ${}L$ unter der Operation der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ gleich ${}K$ ist.

Satz

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K$ und sei ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$.

Dann operiert die Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf ${}S$ mit Invariantenring ${}R$.

Beweis

Es sei ${}\sigma \in G$ und ${}f\in S$. Es sei

${}0=f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\,$

eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}R$. Dann ist

${}{\begin{aligned}0&=\sigma {\left(f^{n}+r_{n-1}f^{n-1}+\cdots +r_{2}f^{2}+r_{1}f+r_{0}\right)}\\&=\sigma (f)^{n}+\sigma (r_{n-1})\sigma (f)^{n-1}+\cdots +\sigma (r_{2})\sigma (f)^{2}+\sigma (r_{1})\sigma (f)+\sigma (r_{0})\\&=\sigma (f)^{n}+r_{n-1}\sigma (f)^{n-1}+\cdots +r_{2}\sigma (f)^{2}+r_{1}\sigma (f)+r_{0}\end{aligned}}$

und somit erfüllt auch ${}\sigma (f)$ eine Ganzheitsgleichung über ${}R$, also ${}\sigma (f)\in S$. Deshalb lässt sich ${}\sigma$ zu einer Abbildung von ${}S$ nach ${}S$ einschränken.

Die Gleichheit ${}S\cap K=R$ ist klar, da ${}R$ als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist

${}S^{G}\subseteq S\cap L^{G}=S\cap K=R\,,$

die umgekehrte Inklusion ${}R\subseteq S^{G}$ ist klar.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Galoiserweiterung und ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche.

Dann operiert die Galoisgruppe ${}G$ auf ${}R$ mit Invariantenring ${}R^{G}=\mathbb {Z}$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 21.2.

$\Box$

Beispiel

Eine quadratische Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ mit einer quadratfreien ganzen Zahl ${}D\neq 0,1$ ist stets eine Galoiserweiterung, wobei die Galoisgruppe neben der Identität aus der Konjugation ${}{\sqrt {D}}\mapsto -{\sqrt {D}}$ besteht. Diese Konjugation wirkt nach Satz 21.2 oder direkt nach Aufgabe 9.3 und Aufgabe 9.5 auch auf dem zugehörigen quadratischen Zahlbereich, mit ${}\mathbb {Z}$ als Invriantenring.

Wir beschreiben nun generell Eigenschaften von Invariantenringen zu einer Operation einer endlichen Gruppe.

Proposition

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Der Invariantenring ${}R^{G}$ ist ein Integritätsbereich.
2. Die Operation induziert eine Operation von ${}G$ auf dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ als Gruppe von Körperautomorphismen.
3. Es ist ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$.
4. Es ist

   ${}R\cap (Q(R))^{G}=R^{G}\,.$

Beweis

(1) ist wegen ${}R^{G}\subseteq R$ klar.
(2). Es sei ${}K=Q(R)$ der Quotientenkörper von ${}R$. Zu jedem ${}\sigma \in G$ setzt sich der Ringautomorphismus ${}f\mapsto f\sigma$ aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus ${}{\frac {f}{g}}\mapsto {\frac {f\sigma }{g\sigma }}$ fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper ${}Q{\left(R^{G}\right)}$ hat die Form ${}{\frac {f}{g}}$ mit invarianten Elementen ${}f,g\in R^{G}$. Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf ${}K$. Daher gilt ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$.
(4). Die Inklusion ${}R^{G}\subseteq R\cap Q(R)^{G}$ ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von ${}G$ auf ${}Q(R)$ eingeschränkt auf ${}R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also ${}f\in R$ ist und aufgefasst in ${}Q(R)$ invariant ist, so ist es überhaupt invariant.

$\Box$

Bei einer endlichen Gruppe gilt in Proposition 21.5  (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

${}Q{\left(R^{G}\right)}=(Q(R))^{G}\,.$

Beweis

Die Inklusion ${}Q{\left(R^{G}\right)}\subseteq (Q(R))^{G}$ gilt nach Proposition 21.5  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien ${}f,g\in R$, ${}g\neq 0$, mit ${}{\frac {f}{g}}\in (Q(R))^{G}$ gegeben. Wir betrachten

${}h=\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \,.$

Dann gelten in ${}Q(R)$ die Identitäten

${}{\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&={\frac {hf}{hg}}\\&={\frac {hf}{{\left(\prod _{\sigma \in G,\,\sigma \neq e_{G}}g\sigma \right)}g}}\\&={\frac {hf}{\prod _{\sigma \in G}g\sigma }}.\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe 21.7) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist ${}{\frac {f}{g}}\in {\left(R^{G}\right)}$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist ${}R^{G}\subseteq R$ eine ganze Erweiterung.

Beweis

Zu ${}f\in R$ betrachten wir das Produkt

${}P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X]\,.$

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring ${}R^{G}$. Ferner ist ${}P$ normiert und es ist ${}P(f)=0$ (da ja ${}X-fe_{G}=X-f$ ein Linearfaktor ist). Somit liefert ${}P$ eine Ganzheitsgleichung für ${}f$ über ${}R^{G}$ und daher ist ${}R^{G}\subseteq R$ ganz.

$\Box$

Invariantenring und Quotientenraum

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen und damit nach Proposition 5.1 auch auf ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ als Gruppe von Homöomorphismen operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten ${}X/G$ und andererseits den Invariantenring ${}R^{G}$ und damit dessen Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$. Der topologische Quotient ist einfach der Bahnenraum versehen mit der Bildtopologie. Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass

${}X/G=\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}\,$

gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die Spektrumsabbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

(die zur Inklusion ${}R^{G}\subseteq R$ gehört) die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

surjektiv und abgeschlossen.

Insbesondere trägt ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ die Bildtopologie unter dieser Abbildung.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 21.7 und aus Satz Anhang 5.3.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann gilt für ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Äquivalenz: ${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})$ genau dann, wenn es ein ${}\sigma \in G$ mit ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.

Das heißt, dass die Bahnen der Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit den Fasern von ${}\iota ^{*}$ übereinstimmen.

Beweis

Wenn ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ ist und ${}f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}$, so ist auch ${}f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}$, also ist

${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.$

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über ${}{\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Element dieser Faser, welches es nach Korollar 21.8 gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ der Faser in der Bahn durch ${}{\mathfrak {p}}$ liegt, dass es also ein ${}\sigma \in G$ mit ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal der Faser über ${}{\mathfrak {r}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${}{\mathfrak {q}}$ gehört. Aus ${}{\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$ (für alle ${}\sigma \in G$) folgt ${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$, da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Lemma Anhang 5.5 nicht nulldimensional wäre. Nach Lemma 11.10 (Kommutative Algebra) ist dann auch

${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.$

Sei ${}f\in {\mathfrak {q}}$, ${}f\notin T$. Die Menge ${}T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch ${}f\sigma \notin T$. Somit ist auch ${}g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$. Andererseits ist aber ${}g\in R^{G}$ und ${}g\in {\mathfrak {q}}$, also ergibt sich der Widerspruch ${}g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)},\iota ^{*}\right)}$ der Quotient der Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$.

Beweis

Die Abbildung

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

ist nach Korollar 21.8 surjektiv, sodass nach Lemma 21.9 die Punkte aus ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ ein mengentheoretischer Quotient. Nach Korollar 21.8 trägt ${}\operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ die Bildtopologie, sodass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ eine Galoiserweiterung und ${}\mathbb {Z} \subseteq R$ die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche. Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und seien ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}$ Primideale oberhalb von ${}(p)$.

Dann sind die lokalen Ringe ${}R_{\mathfrak {p}}$ und ${}R_{\mathfrak {q}}$ und die Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$ und ${}\kappa ({\mathfrak {q}})$ zueinander isomorph.

Beweis

Nach Korollar 21.3 ist ${}R^{G}=\mathbb {Z}$. Wenn ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ auf das gleiche Primideal in ${}\mathbb {Z}$ runterschneiden, so gibt es nach Lemma 21.9 einen Automorphismus

$\sigma \colon R\longrightarrow R$

mit ${}\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$. Dazu gehört ein Isomorphismus

$R_{\mathfrak {p}}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}}$

und ein Isomorphismus der Restekörper.

$\Box$

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