Lösung
- Eine
Reihe
-
von
komplexen Zahlen
heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
-
konvergiert.
- Zu zwei
Polynomen
, ,
heißt die
Funktion
-
wobei das
Komplement
der
Nullstellen
von ist, eine rationale Funktion.
- Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn es (mindestens) eine Folge gibt, die gegen konvergiert.
- Die Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ein gibt mit folgender Eigenschaft: Für alle mit ist .
- Unter dem Konvergenzradius der Potenzreihe versteht man
-
- Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der
Limes
-
existiert.
Lösung
- Ein Element
ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
- Es seien reelle Zahlen und sei
eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen
und .
Dann gibt es ein mit .
- Es sei
-
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei . Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
-
mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen
auf übereinstimmen.
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
Lösung
Für die Zahlen
ist
-
Daher ist
-
Damit ist die Folge der Partialsummen
unbeschränkt
und kann nach
Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
nicht
konvergent
sein.
Zeige, dass die Reihe
-
für jedes
absolut konvergiert.
Lösung
Lösung
Lösung
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
in einem Punkt
.
Lösung
Es bezeichne (1) die Stetigkeit von im Punkt und (2) die Eigenschaft, dass für jede gegen konvergente Folge die Bildfolge gegen konvergiert. Wir müssen die Äquivalenz von (1) und (2) zeigen.
Es sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
-
ist. Dazu sei
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle
die Abschätzung
-
gilt. Nach der Wahl von ist dann
-
so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
Elemente
gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
, .
D.h. für jede natürliche Zahl
gibt es ein
mit
-
Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).
Lösung
Wegen
und
muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall eine Nullstelle von liegen.
Die Intervallmitte ist , dort hat den Wert
-
Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert
-
Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall
liegen.
Die Intervallmitte von diesem Intervall ist , dort hat den Wert
-
Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall liegen. Die Länge dieses Intervalls ist .
Finde eine reelle Lösung für die Gleichung
-
Lösung
Wie setzen
-
und schreiben die Gleichung als
-
Mit
-
ist dies die quadratische Gleichung
-
mit den beiden Lösungen
-
Somit ist
-
und die beiden Lösungen sind
-
Beweise die Funktionalgleichung für die komplexe Exponentialfunktion.
Lösung
Lösung
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen mit Hilfe der linearen Approximierbarkeit.
Lösung
Wir gehen von
-
und
-
aus, wobei die Bedingungen aus der linearen Approximierbarkeit erfüllt sein sollen, und multiplizieren die beiden Gleichungen. Dies führt zu
Aufgrund von
Lemma 12.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
für
Limiten
ist die aus der letzten Zeile ablesbare Funktion stetig mit dem Wert für .
Lösung
Es sei
.
Bestimme die Extrema von
-
Lösung
Es ist
-
Die Bedingung
-
ist äquivalent zu
-
und zu
-
Dies ist äquivalent zu
-
und schließlich zu
-
In diesem Punkt wird das globale Minimum angenommen, da sowohl für als auch für gegen strebt.
Aufgabe (6 (4+2) Punkte)
Lösung
a) Die Funktion ist differenzierbar und die Ableitung ist
-
Für
sind diese beiden Summanden positiv, so dass die Ableitung stets positiv ist und daher streng wachsend ist. Daher ist die Abbildung injektiv. Die Funktion ist stetig, da sie differenzierbar ist. Daher genügt es für die Surjektivität, aufgrund des Zwischenwertsatzes, nachzuweisen, dass beliebig große und beliebig kleine Werte angenommen werden.
Für
ist
und daher
-
Da der Logarithmus für beliebig kleine Werte annimmt, gilt das auch für .
Für
ist
und daher
-
Da der Logarithmus für beliebig große Werte annimmt, gilt das auch für .
b) Durch Einsetzen ergibt sich
,
also ist
das Urbild von . Aufgrund der Berechnung der Ableitung oben ist
.
Aufgrund der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher
-
Bestimme den Grenzwert der Folge
-
Lösung