Kurs:Analysis/Teil II/1/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 2 | 5 | 1 | 9 | 3 | 5 | 2 | 9 | 3 | 9 | 4 | 2 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
- Eine
polynomiale
Funktion
- Eine
stark kontrahierende
Abbildung
zwischen metrischen Räumen und .
- Ein inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem.
- Der
Gradient
einer total differenzierbaren Abbildung
in einem Punkt eines euklidischen Vektorraumes.
- Die Eigenschaft eines Vektorfeldes
lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
- Der Satz über implizite Abbildungen.
- Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass auch wegzusammenhängend ist.
Aufgabe * (1 Punkt)
Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.
Jahr | Gastgeber | Weltmeister |
---|---|---|
Es sei die Menge der Gastgeberländer und
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?
Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)
Es sei eine nichtleere Teilmenge, .
a) sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
b) sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion
gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
Es sei
eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen und auf (dem Bild) der Lösung konstant sind.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum, ein fixierter Vektor und
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
für alle . Es sei
eine Lösung zur Differentialgleichung
Zeige, dass auch
eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Aufgabe * (9 Punkte)
Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen und , wobei endlichdimensionale - Vektorräume sind.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
in jedem Punkt.
Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)
Es sei
- Bestimme die kritischen Punkte und Extrema von .
- Bestimme für jeden kritischen Punkt von und jede Gerade durch , ob längs dieser Geraden in lokale Extrema besitzt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
mit
Zeige auf zweifache Weise, dass kein Gradientenfeld ist.
- Mit der Integrabilitätsbedingung.
- Mit Wegintegralen.