Kurs:Analysis/Teil II/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	4	4	8	0	0	0	9	8	4	8	5	0	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das uneigentliche Integral zu einer stetigen Funktion

   $f\colon [0,+\infty ]\longrightarrow \mathbb {R} .$

2. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum ${}V$ über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
3. Ein Zentralfeld

   $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$

   auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.

4. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
5. Ein lokales Minimum einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem metrischen Raum ${}M$ in einem Punkt ${}x\in M$.

6. Eine punktweise konvergente Abbildungsfolge

   $f_{n}\colon T\longrightarrow M$

   auf einer Menge ${}T$ in einen metrischen Raum ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
2. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld

   $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   gegebenes Anfangswertproblem.
3. Der Satz über die Richtungsableitungen in einem lokalen Extremum.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Stetigkeit linearer Abbildungen.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}M$ ein metrischer Raum, zu einer Menge ${}A\subseteq M$ bezeichnet ${}{\overline {A}}$ den Abschluss von ${}A$. Beweise oder widerlege die folgenden Eigenschaften

1. ${}{\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}\,.$

2. ${}{\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde ein Polynom ${}p(x,y)$ der Form

${}p(x,y)=a+bx+cy+dx^{2}+exy+fy^{2}\,,$

das die Bedingungen

${}p(0,0)=0\,,$

${}p(0,1)=1\,,$

${}p(1,0)=0\,,$

${}p(1,1)=3\,,$

${}p(0,2)=6\,,$

${}p(-1,1)=1\,,$

erfüllt.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Wir betrachten die reelle Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt ${}M=(0,0)$ und Radius ${}3$, also

${}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 3\right\}}\,.$

Eine Person befindet sich im Punkt ${}A=(5,0)$ und möchte zum Punkt ${}B=(-5,0)$, wobei sie sich nur in ${}T$ bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ${}12,5$ ist.

b) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ${}11,9$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen ${}\varphi :V\rightarrow W$ und ${}\psi :W\rightarrow U$, wobei ${}V,W,U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume sind.

Aufgabe * (8 (1+3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x,y)=x^{y}y^{x}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}$.

1. Bestimme die ersten partiellen Ableitungen von ${}f$.
2. Zeige, dass ${}f$ genau einen kritischen Punkt besitzt (Tipp: kann ${}y>x$ sein?) und bestimme diesen.
3. Bestimme die Hesse-Matrix von ${}f$.
4. Bestimme die Extrema von ${}f$.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow ,\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{1+x^{2}}}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.

Aufgabe * (8 (1+2+1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto xyz.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.
3. Bestimme die Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$.
4. Bestimme die Eigenräume der Hesse-Matrix zu ${}\varphi$ im Punkt ${}\left(1,\,1,\,1\right)$.
5. Bestimme den Typ der Hesse-Form zu ${}\varphi$ im Punkt ${}\left(1,\,1,\,1\right)$ mit Hilfe des Eigenwertkriteriums.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&3\\1&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=0$ und ${}y(0)=1$.

Aufgabe (0 Punkte)