Kurs:Analysis/Teil II/24/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	6	4	7	2	4	2	6	6	3	3	12	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes ${}M$.
2. Die Länge eines Streckenzugs

   $[P_{0},P_{1},\ldots ,P_{k}]$

   mit ${}P_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$.

3. Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
4. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

5. Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
6. Ein ${}C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1},V_{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Kompaktheit unter stetigen Abbildungen.
2. Die Formel für die Länge einer Kurve

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

3. Der Satz von Picard-Lindelöf.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

1. Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit ${}1$.
2. Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit, die insgesamt eine Zeiteinheit braucht.
3. Berechne mit der Paramterisierung aus ${}(1)$ die Länge des Kreisbogens.

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.

1. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
2. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
3. Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
4. Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Vektorfeld der Form

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),$

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${}r\in \mathbb {R}$ und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

${}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.$

Zeige, dass

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,$

ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,$

die allgemeine Lösung mit

1. Exponentialfunktionen,
2. Hyperbelfunktionen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)

${}f(x,y)=3000-{\frac {1}{1000}}x^{2}-{\frac {1}{1000}}y^{2}+{\frac {1}{100}}x\,$

beschrieben.

1. In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
2. Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt ${}(0,0)$ konstant den Grundabstand ${}1000$ besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}f$ ein Polynom in zwei Variablen der Bauart

${}f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\sum _{(r_{1},r_{2})\in \mathbb {N} ^{2},\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}x^{r_{1}}y^{r_{2}}\,.$

Zeige ohne Differentialrechnung, dass ${}f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ${}a_{(r_{1},r_{2})}$ ein ${}\epsilon >0$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}U{\left(0,\epsilon \right)}$ außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x^{y},\,y^{x}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$.
2. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.
3. Zeige, dass es zu jedem ${}x\in \mathbb {R} _{>0}$ ein eindeutiges ${}y$ derart gibt, dass ${}(x,y)$ ein kritischer Punkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$

in einem beliebigen Punkt ${}(r,\theta ,\varphi )$.

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz über implizite Abbildungen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Abbildung

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

nicht Lipschitz-stetig ist.