Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y'=2{\text{ mit }}y(5)=3.$

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{2}-3t+4{\text{ mit }}y(-1)=-5.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$

Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass ${}y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgabe

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

aus, die nur von einer Variablen abhängt.

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y\,.$

Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.11 voraus.

Aufgabe

Es sei

${}D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung

$D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f'.$

Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=cy^{\frac {2}{3}}\,$

mit ${}c\in \mathbb {R} _{+}$.

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.10.

Aufgabe

Zeige, dass ${}y(x)=x^{n}$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$) eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=ny^{\frac {n-1}{n}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ ist.

Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion ${}y(t)$ (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

${}y'(t)=y(t-1)\,$

erfüllt (dabei ist $y(t-1)$ als der Wert der Funktion ${}y$ an der Stelle $t-1$ zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen ${}y$ mit ${}t-1$; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y{\text{ mit }}y(0)=3{\text{ und }}y^{\prime }(0)=-2.$

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=5{\text{ und }}y^{\prime }(0)=6.$

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung

${}y^{(n)}=0\,$

einen ${}n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y+t\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${}y'(t)={\frac {1}{\sinh t}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ mit der Anfangsbedingung ${}y(1)=7$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung

${}y^{\prime \prime \prime }=9y-3ty'+y^{\prime \prime }\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

derart gibt, dass die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ mit ${}f$ übereinstimmt, die Ableitungen ${}f^{(i)}$, ${}i<n$, aber nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

mit ${}f(0)=1$ und mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die von ${}2^{x}$ verschieden ist.