Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 26

Wir erinnern an den Begriff einer rationalen Funktion:

Zu Polynomen ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Wir möchten zeigen, wie man zu solchen rationalen Funktionen eine Stammfunktion finden kann. In vielen Fällen wissen wir das bereits. Wenn ${}Q=1$ ist, so handelt es sich um ein Polynom ${}P$, das problemlos zu integrieren ist.

Für die Funktion ${}1/x$ ist der natürliche Logarithmus ${}\ln \vert {x}\vert$ eine Stammfunktion. Damit ist auch eine Funktion vom Typ

${\frac {1}{ax+b}}$

(mit $a\neq 0$) integrierbar, eine Stammfunktion ist ${}{\frac {1}{a}}\ln \vert {ax+b}\vert$. Damit kann man überhaupt beliebige rationale Funktionen der Form

${\frac {P(x)}{ax+b}}$

integrieren. Die Division mit Rest führt zu einer Darstellung

$P=H(ax+b)+c,$

mit einem weiteren Polynom ${}H$ und wobei das Restpolynom ${}c$ konstant ist, da sein Grad kleiner als der Grad des linearen Polynoms ist, durch das die Division durchgeführt wird. Aus dieser Gleichung erhält man die Darstellung

${\frac {P(x)}{ax+b}}=H+{\frac {c}{ax+b}},$

wobei wir für die beiden Summanden Stammfunktionen angeben können. Die Division mit Rest wird auch im allgemeinen Fall entscheidend sein. Davor betrachten wir aber noch den Fall eines quadratischen Nennerpolynoms mit Zähler ${}1$, also

${\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0$. Durch Multiplikation mit ${}a$ (bzw. Division des Nenners durch ${}a$) kann man den Koeffizienten vor ${}x^{2}$ zu ${}1$ normieren. Durch quadratisches Ergänzen kann man

${}x^{2}+bx+c=(x+d)^{2}+e\,$

schreiben. Mit der neuen Variablen ${}u=x+d$ (bzw. mit der Substitution $u=x+d$) schreibt sich dies als ${}u^{2}+e$. Mit einer weiteren Substitution unter Verwendung der Quadratwurzel von ${}e$ bzw. von ${}-e$ gelangt man zu

${\frac {1}{1+v^{2}}}{\text{ oder }}{\frac {1}{1-v^{2}}}.$

Im ersten Fall gilt

${}\int {\frac {1}{1+v^{2}}}dv=\arctan v\,$

und im zweiten Fall gilt

${}\int {\frac {1}{1-v^{2}}}dv={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+v}{1-v}}={\frac {1}{2}}{\left(\ln(1+v)-\ln(1-v)\right)}\,,$

wie in der 24. Vorlesung gezeigt wurde. Für die inversen Funktionen zu Potenzen von reellen quadratischen nullstellenfreien Polynomen werden die Stammfunktionen durch folgende Rekursionsformel bestimmt.

Lemma

Es sei ${}x^{2}+bx+c$ (mit ${}b,c\in \mathbb {R}$) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h., dass ${}\triangle :={\frac {b^{2}-4c}{4}}<0$ ist).

Dann ist

${\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}$

eine Stammfunktion von

${\frac {1}{x^{2}+bx+c}}$

und für ${}n\geq 1$ gilt die Rekursionsformel

$\int _{r}^{s}{\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n+1}}}dx={\frac {1}{n{\left(4c-b^{2}\right)}}}{\left({\frac {2z+b}{{\left(z^{2}+bz+c\right)}^{n}}}{|}_{r}^{s}+(4n-2)\int _{r}^{s}{\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}dx\right)}\,.$

Beweis

Ableiten ergibt

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\arctan {\left({\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}\right)}\right)}'&={\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {-\triangle }}}\cdot {\frac {1}{1+{\frac {1}{-\triangle }}{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{-\triangle +{\left(x+{\frac {b}{2}}\right)}^{2}}}\\&={\frac {1}{c-{\frac {b^{2}}{4}}+x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}}}\\&={\frac {1}{x^{2}+bx+c}}.\end{aligned}}$

Zum Beweis der Rekursionsformel setzen wir ${}q(x):=x^{2}+bx+c$ und leiten ab.

${}{\begin{aligned}((2x+b)q^{-n})'&=2q^{-n}-n(2x+b)q^{-n-1}(2x+b)\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}(2x+b)^{2}\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}(4x^{2}+4xb+b^{2})\\&=2q^{-n}-nq^{-n-1}(4q-4c+b^{2})\\&=2q^{-n}-4nq^{-n}+n(4c-b^{2})q^{-n-1}\\&=(2-4n)q^{-n}+n(4c-b^{2})q^{-n-1}.\end{aligned}}$

Division durch ${}n(4c-b^{2})$ und Umstellen ergibt

$q^{-n-1}={\frac {1}{n(4c-b^{2})}}((2x+b)q^{-n})'+{\frac {4n-2}{n(4c-b^{2})}}q^{-n}\,.$

Dies ist die Behauptung.

$\Box$

Bemerkung  

Mit Lemma 26.1 kann man auch rationale Funktionen der Form

${\frac {rx+s}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}$

(mit ${}r,s\in \mathbb {R} ,\,r\neq 0$,) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei ${}n=1$ ist

${\left({\frac {r}{2}}\ln \left(x^{2}+bx+c\right)\right)}'={\frac {r}{2}}\cdot {\frac {2x+b}{x^{2}+bx+c}}={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{x^{2}+bx+c}}\,.$

D.h., dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ

${\frac {u}{x^{2}+bx+c}}$

ist, was wir aufgrund von Lemma 26.1 integrieren können. Bei ${}n\geq 2$ ist

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n-1}}}\right)}'&={\frac {-r}{2(n-1)}}\cdot (-n+1)\cdot (2x+b)\cdot {\frac {1}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}\\&={\frac {rx+{\frac {rb}{2}}}{{\left(x^{2}+bx+c\right)}^{n}}}\,\end{aligned}}$

und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt.

Wir möchten für beliebige rationale Funktionen ${}f={\frac {P}{Q}}$ mit ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$ Stammfunktionen bestimmen. Dies geht grundsätzlich immer, vorausgesetzt, dass man eine Faktorzerlegung des Nennerpolynoms besitzt. Aufgrund der reellen Version des Fundamentalsatzes der Algebra, den wir in Analysis II beweisen werden, gibt es eine Faktorzerlegung

$Q=(X-b_{1})\cdots (X-b_{r})\cdot q_{1}\cdots q_{s},$

wobei die ${}q_{j}$ quadratische Polynome ohne reelle Nullstellen sind. Das Bestimmen der Stammfunktionen zu rationalen Funktionen beruht auf der Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen, die wir zuerst besprechen.

Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung liefert eine wichtige Darstellungsform für eine rationale Funktion ${}P/Q$, bei der die Nenner besonders einfach werden. Wir beginnen mit dem Fall ${}K={\mathbb {C} }$, wo wir den Fundamentalsatz der Algebra zur Verfügung haben.

Satz

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

${}Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, mit

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\,.$

Beweis

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,$

mit ${}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei ${}r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${}Q$ ein Nennerpolynom vom Grad ${}r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${}X-a_{1}$ ein Linearfaktor von ${}Q$, sodass wir

${}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,$

schreiben können, wobei ${}{\tilde {Q}}$ den Grad ${}r-1$ besitzt. Die Ordnung von ${}X-a_{1}$ in ${}Q$ sei ${}r_{1}$. Wir setzen

${}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,$

an. Dies führt auf

${}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,$

aus der wir ${}c_{1r_{1}}$ und ${}{\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${}X=a_{1}$ gelten soll, muss

${}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,$

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${}a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

$P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$

mit dem soeben bestimmten Wert ${}c_{1r_{1}}$. Für diese Differenz ist dann ${}a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Lemma 11.6 durch ${}X-a_{1}$ teilen kann, also

${}P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,$

erhält. Dadurch ist ${}{\tilde {P}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${}{\tilde {P}}$ ist kleiner als der Grad von ${}P$ und daher ist der Grad von ${}{\tilde {P}}$ auch kleiner als der Grad von ${}{\tilde {Q}}$. Daher können wir auf ${}{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.

$\Box$

Wir wenden uns nun der reellen Situation zu.

Satz

Es seien ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

$Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}Q_{1}^{t_{1}}\cdots Q_{u}^{t_{u}}$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in \mathbb {R}$ und verschiedenen quadratischen Polynomen ${}Q_{k}$ ohne reelle Nullstellen.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in \mathbb {R} [X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in \mathbb {R}$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, und eindeutig bestimmte lineare Polynome ${}L_{k\ell }=d_{k\ell }X+e_{k\ell }$, ${}1\leq k\leq u$, ${}1\leq \ell \leq t_{k}$, mit

${}{\begin{aligned}{\frac {P}{Q}}&=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\\&\,\,\,+{\frac {L_{11}}{Q_{1}}}+{\frac {L_{12}}{Q_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{1t_{1}}}{Q_{1}^{t_{1}}}}+\cdots +{\frac {L_{u1}}{Q_{u}}}+{\frac {L_{u2}}{Q_{u}^{2}}}+\cdots +{\frac {L_{ut_{u}}}{Q_{u}^{t_{u}}}}.\end{aligned}}$

Beweis

Wir gehen von der komplexen Partialbruchzerlegung von ${}P/Q$ aus. Die reell quadratischen Polynome ${}Q_{k}$ zerfallen komplex als

${}Q_{k}=(X-z)(X-{\overline {z}})\,$

mit ${}z=z_{k}\in {\mathbb {C} }$. In der komplexen Partialbruchzerlegung betrachten wir die Teilsumme

${\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {d}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}$

mit ${}c,d\in {\mathbb {C} }$. Wenn man auf die gesamte komplexe Partialbruchzerlegung die komplexe Konjugation anwendet, so bleibt der reelle Quotient ${}{\frac {P}{Q}}$ unverändert, sodass auch die Partialbruchzerlegung in sich überführt wird. Daher müssen ${}c$ und ${}d$ zueinander konjugiert sein und die obige Teilsumme ist daher

${}{\frac {c}{(X-z)^{\ell }}}+{\frac {\overline {c}}{(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {c(X-{\overline {z}})^{\ell }+{\overline {c}}(X-z)^{\ell }}{(X-z)^{\ell }(X-{\overline {z}})^{\ell }}}={\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}\,,$

wobei das Zählerpolynom ${}S$ reell ist, da es invariant unter der komplexen Konjugation ist. Dieses Zählerpolynom ist im Allgemeinen nicht linear, wir werden aber zeigen, dass man weiter auf lineare Zählerpolynome reduzieren kann. Der Grad von ${}S$ ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms. Durch sukzessive Division mit Rest von ${}S$ durch ${}Q_{k}$ erhält man

${}S=L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{{\ell }-1}Q_{k}^{{\ell }-1}\,$

mit linearen (reellen) Polynomen ${}L_{i}$. Daher ist

${}{\frac {S}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}+L_{1}Q_{k}+L_{2}Q_{k}^{2}+\cdots +L_{\ell -1}Q_{k}^{{\ell }-1}}{Q_{k}^{\ell }}}={\frac {L_{0}}{Q_{k}^{\ell }}}+{\frac {L_{1}}{Q_{k}^{{\ell }-1}}}+\cdots +{\frac {L_{{\ell }-2}}{Q_{k}^{2}}}+{\frac {L_{{\ell }-1}}{Q_{k}}}\,.$

Wenn man alles aufsummiert, so erhält man insgesamt die Existenz der reellen Partialbruchzerlegung. Für die Eindeutigkeit siehe Aufgabe *****.

$\Box$

Neben dem Umweg über die komplexe Partialbruchzerlegung gibt es weitere Methoden, in Beispielen die reelle Partialbruchzerlegung zu bestimmen. Grundsätzlich bedeutet das Bestimmen der (reellen oder komplexen) Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung, ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem zu lösen, wobei man sowohl durch Koeffizientenvergleich als auch durch das Einsetzen von bestimmten Zahlen zu hinreichend vielen linearen Gleichungen kommt.

Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion

${}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {1}{(X-1){\left(X^{2}+X+1\right)}}}\,.$

wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {a}{X-1}}+{\frac {bX+c}{X^{2}+X+1}}\,$

geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf

${}{\begin{aligned}1&=a{\left(X^{2}+X+1\right)}+(bX+c)(X-1)\\&=(a+b)X^{2}+(a+c-b)X+a-c.\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

$a+b=0{\text{ und }}a+c-b=0{\text{ und }}a-c=1$

mit den eindeutigen Lösungen

$a={\frac {1}{3}},\,b=-{\frac {1}{3}},\,c=-{\frac {2}{3}}.$

Die Partialbruchzerlegung ist also

${}{\frac {1}{X^{3}-1}}={\frac {\frac {1}{3}}{X-1}}+{\frac {-{\frac {1}{3}}X-{\frac {2}{3}}}{X^{2}+X+1}}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{X-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {X+2}{X^{2}+X+1}}\,.$

Beispiel

Wir betrachten die rationale Funktion

${}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{4}+X^{2}}}={\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}\,,$

wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz

${}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {a}{X}}+{\frac {b}{X^{2}}}+{\frac {cX+d}{X^{2}+1}}\,$

führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf

${}{\begin{aligned}X^{3}-X+5&=aX{\left(X^{2}+1\right)}+b{\left(X^{2}+1\right)}+(cX+d)X^{2}\\&=aX^{3}+aX+bX^{2}+b+cX^{3}+dX^{2}\\&=(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+aX+b.\end{aligned}}$

Koeffizientenvergleich führt auf das inhomogene lineare Gleichungssystem

$a+c=1{\text{ und }}b+d=0{\text{ und }}a=-1{\text{ und }}b=5$

mit der Lösung

$b=5,\,a=-1,\,d=-5,\,c=2.$

Insgesamt ist die Partialbruchzerlegung also gleich

${}{\frac {X^{3}-X+5}{X^{2}(X^{2}+1)}}=-{\frac {1}{X}}+{\frac {5}{X^{2}}}+{\frac {2X-5}{X^{2}+1}}\,.$

Integration rationaler Funktionen

Verfahren  

Es sei eine rationale Funktion

${}f={\frac {P}{Q}}\,$

gegeben, für die eine Stammfunktion gefunden werden soll. Dabei seien ${}P$ und ${}Q$ reelle Polynome. Man geht folgendermaßen vor.

1. Bestimme die reelle Faktorzerlegung des Nennerpolynoms ${}Q$.
2. Finde die Partialbruchzerlegung

   ${}{\frac {P}{Q}}=H+\sum _{i=1}^{r}{\left(\sum _{j=1}^{s_{i}}{\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}\right)}+\sum _{k=1}^{u}{\left(\sum _{\ell =1}^{t_{k}}{\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}\right)}\,.$

3. Bestimme für ${}H$, für jedes

   ${\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}$

   und für jedes

   ${\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}$

   eine Stammfunktion.

Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu

${}f(x)={\frac {1}{x^{3}-1}}\,$

bestimmen. Nach Beispiel 26.5 ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{x^{3}-1}}&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+4}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {3}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x^{2}+x+1}}.\end{aligned}}$

Als Stammfunktion ergibt sich daher

${\frac {1}{3}}\ln \vert {x-1}\vert -{\frac {1}{6}}\cdot \ln \left(x^{2}+x+1\right)-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot \arctan {\frac {2}{\sqrt {3}}}{\left(x+{\frac {1}{2}}\right)},$

wobei wir für den rechten Summanden Lemma 26.1 verwendet haben.

Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu

${}f(x)={\frac {x^{3}-x+5}{x^{4}+x^{2}}}\,$

bestimmen. Nach Beispiel 26.6 ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich

${}{\frac {x^{3}-x+5}{x^{2}(x^{2}+1)}}=-{\frac {1}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}+{\frac {2x-5}{x^{2}+1}}\,.$

Als Stammfunktion ergibt sich daher

$-\ln \vert {x}\vert -5x^{-1}+\ln \left(x^{2}+1\right)-5\arctan x.$

Fußnoten

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