Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 57/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 2(x-3)^{2}+3(y-1)^{2}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(m,l)\longmapsto {\frac {m}{l^{2}}},$

berechnet, wobei ${}m$ für die Masse und ${}l$ für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
5. Berechne die Hesse-Matrix von ${}\varphi$ und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf ${}[30,300]\times [1,2]$ einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ${}T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein Gradientenfeld und sei

$\varphi \colon J\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

(${}J\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=G(v)$. Es gelte ${}\varphi '(t)\neq 0$ für alle ${}t\in J$. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\left\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \mid {\text{unendlich oft differenzierbar}}\right\}}\,,$

versehen mit der durch die Supremumsnorm gegebenen Metrik. Zeige, dass die Ableitung

$M\longrightarrow M,\,f\longmapsto f',$

keine starke Kontraktion ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto 3v^{2/3}=3{\sqrt[{3}]{v^{2}}}.$

Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

$h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y^{2},$

gehört.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Welche linearen Vektorfelder

$G\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,v\longmapsto Mv,$

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.