Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 56/latex

\setcounter{section}{56}






\zwischenueberschrift{Differential- und Integralgleichungen}

Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.




\inputfaktbeweis
{Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein stetiges \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w) }
{ \in }{I \times U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben.}
\faktfolgerung {Dann ist eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbeledisp {v} {J} {U } {t} {v(t) } {,} auf einem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J }
{ \subseteq }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0 }
{ \in }{J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{  \zusatzklammer {insbesondere muss $v$ differenzierbar sein} {} {}}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { , }
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t) }
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t_0) }
{ =} { w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(t) }
{ = }{ f(t,v(t)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.}
{}\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(s) }
{ = }{ f(s,v(s)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s }
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } v'(s) \, d s }
{ =} { w+ v(t)-v(t_0) }
{ =} { v(t) }
{ } { }
} {}{}{.}}
{}

}







\zwischenueberschrift{Der Satz von Picard-Lindelöf}

Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.




\inputfaktbeweis
{Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {f} {I\times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld \definitionsverweis {stetig}{}{} sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w) }
{ \in }{ I \times U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
\mathbed {J} {mit}
{t_0 \in J \subseteq I} {}
{} {} {} {} derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige \definitionsverweis {Lösung für das Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { }
existiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach Lemma 56.1 ist eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} \maabbdisp {v} {J} {V } {} genau dann eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{,} wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t) }
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung \zusatzklammer {man spricht von einem \stichwort {Funktional} {}} {} {}
\mathdisp {\psi \longmapsto (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )} { }
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$ \zusatzklammer {aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$} {} {.} Die Fixpunkteigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H(\psi) }
{ = }{ \psi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bedeutet gerade, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(t) }
{ = }{ w + \int_{t_0}^t f(s, \psi(s)) ds }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als \definitionsverweis {vollständig}{}{} und das Funktional als \definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{} nachweisen. \teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t_0,w) }
{ \in} { J' \times U { \left( w,\epsilon \right) } }
{ \subseteq} { I \times U }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,v)-f(t, \tilde{v}) } \Vert }
{ \leq} { L \Vert {v - \tilde{v}} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle \mathkor {} {t \in J'} {und} {v,\tilde{v} \in U { \left( w,\epsilon \right) }} {.} Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der \definitionsverweis {Abschluss}{}{} von
\mathl{J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }}{,} also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in
\mathl{I \times U}{} liegt. Aufgrund von Satz 36.12 gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathdisp {\Vert {f(t,v)} \Vert \leq M \text { für alle } (t,v) \in J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }} { }
\zusatzklammer {da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt} {} {.} Wir ersetzen nun $J'$ durch ein kleineres Intervall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J }
{ =} { [t_0- \delta,t_0+ \delta ] }
{ \subseteq} { J' }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ \leq }{ \epsilon/M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ \leq }{ 1/(2L) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun die Menge der \definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{C }
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi(t)- w} \Vert \leq \epsilon \text { für alle } t \in J \right\} } }
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi- w} \Vert \leq \epsilon \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Dabei wird also $C$ mit der \definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{} auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach Satz 55.9 und nach Aufgabe 36.15 wieder ein vollständiger metrischer Raum.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung \maabbeledisp {H} {C} {C } {\psi} {H(\psi) = (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s ) } {.} Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass
\mathl{H(\psi)}{} wieder zu $C$ gehört. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist aber nach Satz 39.1
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { H( \psi)(t) - w} \Vert }
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi(s)) \, d s } \Vert }
{ \leq} { {{op:Betrag \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {f(s,\psi(s))} \Vert \, d s }} }
{ \leq} { \betrag { t-t_0 } M }
{ \leq} { \frac{ \epsilon}{M} M }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{,} und
\mathl{H(\psi)}{} ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_1, \psi_2 }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert { H(\psi_1)(t)- H(\psi_2)(t) } \Vert }
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_1(s)) \, d s - \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_2(s)) \, d s } \Vert }
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } (f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))) \, d s } \Vert }
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert { f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))} \Vert \, d s } }
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } L \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s } }
{ \leq} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert \, d s } }
{ \leq} { L \betrag { t-t_0 } \cdot \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert }
{ \leq} { \frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert }
} {}{.} Da dies für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { H(\psi_1)- H(\psi_2) } \Vert }
{ \leq} {\frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. es liegt eine \definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{} vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung \maabb {v} {J} {V } {} gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t) }
{ =} { w + \int_{t_0}^t f(s,v(s)) ds }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.}
{}

}







\zwischenueberschrift{Die Picard-Lindelöf-Iteration}

Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf ist prinzipiell kontruktiv. Darauf beruht die \stichwort {Picard-Lindelöf-Iteration} {,} mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen.




\inputbemerkung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbeledisp {F} {I\times U} {V } {(t,v)} {F(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w) }
{ \in }{ I \times U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld \definitionsverweis {stetig}{}{} sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge. In der \stichwort {Picard-Lindelöf-Iteration} {} definiert man iterativ eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von Funktionen \maabbdisp {\varphi_n} {I} {V } {} durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_0 }
{ = }{ w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert $w$} {} {} und durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi_{n+1} (t) }
{ =} { w + \int_{t_0}^t F(s, \varphi_n(s))\,ds }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann gibt es ein Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {]a,b[} }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ \in }{ {]a,b[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ {]a,b[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Folge
\mathl{\varphi_n(t)}{} gegen einen Punkt
\mathl{\varphi(t)}{} konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion $\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { . }
Bei einer \definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{} mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz $I$.

}

Wir wenden dieses approximative Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen \zusatzklammer {siehe Aufgabe 30.6} {} {.}




\inputbeispiel{}
{

Wir wenden die \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} auf die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} {F(t,y) }
{ =} {ty }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(0) }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} an \zusatzklammer {die Lösung ist \mathlk{e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}}{}} {} {.} Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die erste Iteration liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1 (t) }
{ =} { 1 + \int_0^t s ds }
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die zweite Iteration liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi_2 (t) }
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, \varphi_1(s) \right) } ds }
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } s^2 \right) } ds }
{ =} { 1 + \int_0^t s+ { \frac{ 1 }{ 2 } } s^3 ds }
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } t^4 }
} {} {}{.} Die dritte Iteration liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi_3 (t) }
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, \varphi_2(s) \right) } ds }
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s,1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } s^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } s^4 \right) } ds }
{ =} { 1 + \int_0^t s+ { \frac{ 1 }{ 2 } } s^3 + { \frac{ 1 }{ 8 } } s^5 ds }
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } t^4 + { \frac{ 1 }{ 48 } } t^6 }
} {} {}{.} Dabei stimmt die $i$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung $2i$ der Lösung überein.


}