Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesung 56/latex
\setcounter{section}{56}
\zwischenueberschrift{Differential- und Integralgleichungen}
Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.
\inputfaktbeweis
{Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein stetiges
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben.}
\faktfolgerung {Dann ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {v} {J} {U
} {t} {v(t)
} {,}
auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{
\zusatzklammer {insbesondere muss $v$ differenzierbar sein} {} {}}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { , }
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t_0)
}
{ =} { w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aufgrund
des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(t)
}
{ = }{ f(t,v(t))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist.}
{}\teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'(s)
}
{ = }{ f(s,v(s))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } v'(s) \, d s
}
{ =} { w+ v(t)-v(t_0)
}
{ =} { v(t)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Picard-Lindelöf}
Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
\inputfaktbeweis
{Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {I\times U} {V
} {(t,v)} {f(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sei und
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genüge.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{ I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
\mathbed {J} {mit}
{t_0 \in J \subseteq I} {}
{} {} {} {}
derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige
\definitionsverweis {Lösung für das Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { }
existiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 56.1
ist eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbdisp {v} {J} {V
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{,}
wenn $v$ die Integralgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s,v(s)) \, d s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des
Banachschen Fixpunktsatzes
dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung
\zusatzklammer {man spricht von einem \stichwort {Funktional} {}} {} {}
\mathdisp {\psi \longmapsto (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )} { }
einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$
\zusatzklammer {aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$} {} {.}
Die Fixpunkteigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H(\psi)
}
{ = }{ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet gerade, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(t)
}
{ = }{ w + \int_{t_0}^t f(s, \psi(s)) ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als
\definitionsverweis {vollständig}{}{}
und das Funktional als
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{}
nachweisen.
\teilbeweis {}{}{}
{Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in} { J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }
}
{ \subseteq} { I \times U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f(t,v)-f(t, \tilde{v}) } \Vert
}
{ \leq} { L \Vert {v - \tilde{v}} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {t \in J'} {und} {v,\tilde{v} \in U { \left( w,\epsilon \right) }} {.}
Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
von
\mathl{J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }}{,} also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in
\mathl{I \times U}{} liegt. Aufgrund von
Satz 36.12
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {\Vert {f(t,v)} \Vert \leq M \text { für alle } (t,v) \in J' \times U { \left( w,\epsilon \right) }} { }
\zusatzklammer {da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt} {} {.}
Wir ersetzen nun $J'$ durch ein kleineres Intervall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ J
}
{ =} { [t_0- \delta,t_0+ \delta ]
}
{ \subseteq} { J'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ \epsilon/M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \leq }{ 1/(2L)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun die Menge der
\definitionsverweis {stetigen Abbildungen}{}{}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{C
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi(t)- w} \Vert \leq \epsilon \text { für alle } t \in J \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \psi:J \rightarrow V \mid \psi \text{ stetig} , \, \Vert {\psi- w} \Vert \leq \epsilon \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei wird also $C$ mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach
Satz 55.9
und nach
Aufgabe 36.15
wieder ein vollständiger metrischer Raum.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung
\maabbeledisp {H} {C} {C
} {\psi} {H(\psi) = (t \mapsto w + \int_{ t_0 }^{ t } f(s, \psi (s)) \, d s )
} {.}
Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass
\mathl{H(\psi)}{} wieder zu $C$ gehört. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aber nach
Satz 39.1
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert { H( \psi)(t) - w} \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi(s)) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { {{op:Betrag \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {f(s,\psi(s))} \Vert \, d s }}
}
{ \leq} { \betrag { t-t_0 } M
}
{ \leq} { \frac{ \epsilon}{M} M
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
und
\mathl{H(\psi)}{} ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_1, \psi_2
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \Vert { H(\psi_1)(t)- H(\psi_2)(t) } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_1(s)) \, d s - \int_{ t_0 }^{ t } f(s,\psi_2(s)) \, d s } \Vert
}
{ =} { \Vert { \int_{ t_0 }^{ t } (f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))) \, d s } \Vert
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert { f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } L \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1(s) - \psi_2(s)} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \cdot \betrag { \int_{ t_0 }^{ t } \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert \, d s }
}
{ \leq} { L \betrag { t-t_0 } \cdot \Vert {\psi_1 - \psi_2} \Vert
}
{ \leq} { \frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert
}
}
{}{.}
Da dies für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { H(\psi_1)- H(\psi_2) } \Vert
}
{ \leq} {\frac{1}{2} \Vert {\psi_1- \psi_2} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. es liegt eine
\definitionsverweis {starke Kontraktion}{}{}
vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung
\maabb {v} {J} {V
} {} gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { w + \int_{t_0}^t f(s,v(s)) ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.}
{}
\zwischenueberschrift{Die Picard-Lindelöf-Iteration}
Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf ist prinzipiell kontruktiv. Darauf beruht die \stichwort {Picard-Lindelöf-Iteration} {,} mit der man Lösungen approximieren kann. Die Güte der Approximationen wird dabei durch geeignete Normen auf Funktionenräumen gemessen, was wir nicht ausführen.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
und
\maabbeledisp {F} {I\times U} {V
} {(t,v)} {F(t,v)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (t_0,w)
}
{ \in }{ I \times U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Anfangsbedingung. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sei und
\definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{}
genüge. In der \stichwort {Picard-Lindelöf-Iteration} {} definiert man iterativ eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von Funktionen
\maabbdisp {\varphi_n} {I} {V
} {}
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_0
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {dies ist also die konstante Funktion mit dem Wert $w$} {} {}
und durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi_{n+1} (t)
}
{ =} { w + \int_{t_0}^t F(s, \varphi_n(s))\,ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es ein Teilintervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {]a,b[}
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Folge
\mathl{\varphi_n(t)}{} gegen einen Punkt
\mathl{\varphi(t)}{} konvergiert, wobei gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Die Grenzfunktion $\varphi$ ist dann eine Lösung des Anfangswertproblems
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w} { . }
Bei einer
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
mit stetigen Koeffizientenfunktionen konvergiert dieses Verfahren auf ganz $I$.
}
Wir wenden dieses approximative Verfahren auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen an, für die wir die Lösung schon kennen \zusatzklammer {siehe Aufgabe 30.6} {} {.}
\inputbeispiel{}
{
Wir wenden die
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
auf die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} {F(t,y)
}
{ =} {ty
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(0)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an
\zusatzklammer {die Lösung ist \mathlk{e^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2}}{}} {} {.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die erste Iteration liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_1 (t)
}
{ =} { 1 + \int_0^t s ds
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zweite Iteration liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi_2 (t)
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, \varphi_1(s) \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } s^2 \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t s+ { \frac{ 1 }{ 2 } } s^3 ds
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } t^4
}
}
{}
{}{.}
Die dritte Iteration liefert
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi_3 (t)
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s, \varphi_2(s) \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t F { \left( s,1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } s^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } s^4 \right) } ds
}
{ =} { 1 + \int_0^t s+ { \frac{ 1 }{ 2 } } s^3 + { \frac{ 1 }{ 8 } } s^5 ds
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } t^2 + { \frac{ 1 }{ 8 } } t^4 + { \frac{ 1 }{ 48 } } t^6
}
}
{}
{}{.}
Dabei stimmt die $i$-te Iteration mit der Taylor-Entwicklung der Ordnung $2i$ der Lösung überein.
}