Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 72/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide (eines Tetraeders) mit Seitenlänge ${}1$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen ${}0$ und ${}\pi$ um die ${}x$ -Achse gedreht wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion

f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto t+{\sqrt {t}}+1,

um die ${}t$ -Achse rotieren lässt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die ${}y$ -Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu ${}y=h$ „gedeckelt“ wird, in Abhängigkeit von ${}h\geq 0$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Fasse die Einheitskugel als Rotationskörper auf und berechne damit ihr Volumen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe ${}1$ besitzt, den (offenen) Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto f(x),

eine positive stetige Funktion (mit ${}a\leq b$ aus ${}\mathbb {R}$ ). Zeige, dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge

M={\left\{(x,f(x)\cos \alpha ,f(x)\sin \alpha )\mid x\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi [\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3},

das Volumen ${}0$ besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${}2{\rm {m}}$ und die Länge ${}10{\rm {m}}$ , die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${}3{\rm {m}}$ und die Länge ${}12{\rm {m}}$ , wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${}2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${}12.000{\rm {kg}}$ . Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${}1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sollen drei Kugeln mit Radius ${}1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wo liegt der Fehler in Beispiel 72.7?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere den Wikipediaartikel „Prinzip von Cavalieri“, insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

„Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) “. (Version vom 16. November 2015).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ die Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt in ${}(0,R)$ und dem Radius ${}0<r<R$ . Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich ${}K$ um die ${}x$ -Achse dreht.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ der Viertelkreis mit dem Mittelpunkt in ${}(1,0)$ , dem Radius ${}1$ und den Eckpunkten ${}(0,0)$ und ${}(1,1)$ . Berechne das Volumen des „runden Trichters“, der entsteht, wenn man ${}V$ um die ${}y$ -Achse dreht.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(3,4),\,(5,5)$ und ${}(4,6)$ . Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man ${}D$ um die ${}x$ -Achse dreht.