Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 3X^5+4X^4-2X^2+5X-6 }{ X^3 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koeffizienten in der \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} in Beispiel 26.6 durch Einsetzen von einigen Zahlen für $X$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^2(X^2+1) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3-1 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3(X-1)^3 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ X^3+4X^2+7 }{ X^2-X-2 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X(X-1)(X-2)(X-3) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathl{f(x)}{.}

b) Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathl{f(x)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{1\}} { \R } {x} { { \frac{ x^5+3x^3-2x^2+x-1 }{ (x-1)^2(x^2+1) } } } {.}

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von $f$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von $f$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ 5x^3+4x-3 }{ x^2+1 } }} { }
mittels Partialbruchzerlegung.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine Stammfunktion von
\mathdisp {{ \frac{ x^2+1 }{ x(x-1)(x-2) } }} { }
für
\mathl{x >2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^2+5 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^2-5 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2x^2+x-1 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 1+x^4 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 7x^6-18x^5+8x^3-9x^2+2 }{ x^7-3x^6+2x^4-3x^3+2x-5 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Eindeutigkeit der reellen Partialbruchzerlegung.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Schreibe die \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 2x^3-4x^2+5x-1 }{ 4x+3 } }} { }
in der neuen Variablen
\mathl{u=4x+3}{.} Berechne die \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} über die reelle \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} und über die Substitution
\mathl{u=4x+3}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^4-1 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ X^7+X^4-5X+3 }{ X^8+X^6-X^4-X^2 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} für die \definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 3x-5 }{ (x^2+2x+7)^2 } }} { . }

}
{} {}