Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 25



Übungsaufgaben

Berechne das bestimmte Integral


In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Es sei . Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Es sei ein reelles Intervall und es sei

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion . Es sei eine Stammfunktion von und es seien . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion


Es sei

eine bijektive, stetig differenzierbare Funktion. Man beweise die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion, indem man für das Integral

die Substitution durchführt und anschließend partiell integriert.


Es sei . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion

unter Verwendung der Stammfunktion von und Satz 25.5.


Bestimme eine Stammfunktion des natürlichen Logarithmus unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.


Begründe den Zusammenhang

für allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.


Berechne das bestimmte Integral


Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein reelles Intervall und es sei

eine stetige Funktion mit der Stammfunktion . Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Es seien . Bestimme eine Stammfunktion der Funktion


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei

eine streng wachsende, bijektive Funktion und

eine Treppenfunktion.

a) Zeige, dass ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

b) Es sei nun zusätzlich stetig differenzierbar. Bestätige die Gleichung

direkt, ohne Bezug auf die Substitutionsregel.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine stetige Funktion. Betrachte die Funktion

für . Zeige, dass eine zweite Ableitung besitzt, und dass die folgende Beziehung gilt:

(Mit einer geeigneten Substitution kann man erreichen, dass die Variable nicht mehr als Argument der Funktion auftritt. Danach geht es darum, geeignete trigonometrische Formeln anzuwenden.)

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion mit für alle . Für welche Punkte besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?



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