Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral ${}\int _{0}^{8}f(t)\,dt$, wobei die Funktion ${}f$ durch

$f(t)={\begin{cases}t+1,{\text{ falls }}0\leq t\leq 2\,,\\t^{2}-6t+11,{\text{ falls }}2<t\leq 5\,,\\6,{\text{ falls }}5<t\leq 6\,,\\-2t+18\,,{\text{ falls }}6<t\leq 8\,,\end{cases}}$

gegeben ist.

Aufgabe *

Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2x+3}}-e^{-x},$

über ${}[1,4]$.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{2}^{5}{\frac {x^{2}+3x-6}{x-1}}\,dx.$

Aufgabe *

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die beiden Graphen zu ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(x)={\sqrt {x}}$ eingeschlossen wird.

Aufgabe *

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${}{\sqrt {x}}$ für ${}x\in [1,4]$. Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von ${}1$ und ${}4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von ${}1$ und der Wurzel von ${}4$.

Aufgabe *

Eine Person will ein einstündiges Sonnenbad nehmen. Die Intensität der Sonneneinstrahlung werde im Zeitintervall ${}[6,22]$ (in Stunden) durch die Funktion

$f\colon [6,22]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t)=-t^{3}+27t^{2}-120t,$

beschrieben. Bestimme den Startzeitpunkt des Sonnenbades, sodass die Gesamtsonnenausbeute maximal wird.

Aufgabe *

Zeige, dass für jedes ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung

${}{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}\leq \ln 2\,$

gilt. Tipp: Betrachte die Funktion ${}f(x)={\frac {1}{x}}$ auf dem Intervall ${}[1,2]$.

Aufgabe

Bestimme die zweite Ableitung der Funktion

${}F(x)=\int _{0}^{x}{\sqrt {t^{5}-t^{3}+2t}}\,dt\,.$

Aufgabe

Es sei ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige, dass die Funktion

$h(x)=\int _{0}^{g(x)}f(t)\,dt$

differenzierbar ist und bestimme ihre Ableitung.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Betrachte die durch

$a_{n}:=\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}f(t)\,dt$

definierte Folge. Entscheide, ob diese Folge konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe mit ${}a_{n}\in [0,1]$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}f\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion.

Zeige, dass dann die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{a_{n}}f(x)dx$

absolut konvergent ist.

Aufgabe

Es sei ${}f$ eine Riemann-integrierbare Funktion auf ${}[a,b]$ mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in [a,b]$. Man zeige: Ist ${}f$ stetig in einem Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)>0$, dann gilt

${}\int _{a}^{b}f(x)dx>0\,.$

Aufgabe

Man zeige, dass die Gleichung

${}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}dt=1\,$

eine einzige Lösung ${}x\in [0,1]$ besitzt.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

${}\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}g(x)dx\,$

Beweise, dass es ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei stetige Funktionen und es sei ${}g(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$. Zeige, dass es dann ein ${}s\in [a,b]$ mit

${}\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,dt=f(s)\int _{a}^{b}g(t)\,dt\,$

gibt.

Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt unterhalb des Graphen der Sinusfunktion zwischen ${}0$ und ${}\pi$.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetig mit

${}\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0\,$

für jede stetige Funktion ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige ${}f=0$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{7}{\frac {x^{3}-2x^{2}-x+5}{x+1}}\,dx.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x+1}}}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch die Graphen der beiden Funktionen ${}f$ und ${}g$ mit

$f(x)=x^{2}{\text{ und }}g(x)=-2x^{2}+3x+4$

eingeschlossen wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

mit

$f(t)={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\\sin {\frac {1}{t}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}$

Zeige, unter Bezug auf die Funktion ${}g(x)=x^{2}\cos {\frac {1}{x}}$, dass ${}f$ eine Stammfunktion besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die durch

${}a_{n}={\frac {1}{n^{\frac {3}{2}}}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {i}}\,$

gegebene Folge. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.

(Verwende Eigenschaften der Wurzelfunktion.)

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft gibt, dass das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion zur äquidistanten Unterteilung in ${}n$ Teilintervalle größer ist als dasjenige zu ${}n+1$ Teilintervallen (d.h. mehr Teilungspunkte führen zu einer schlechteren Approximation).

(Ignoriere zuerst die beiden Bedingungen stetig und streng.)