Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesung 14/latex

\setcounter{section}{14}






\zwischenueberschrift{Gleichmäßige Stetigkeit}

Die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R_+ } {x} {1/x } {,} ist stetig. In jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( B \left( x,\delta \right) ) }
{ \subseteq }{ B \left( f(x),\epsilon \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dabei hängt das $\delta$ nicht nur von der Zielgenauigkeit $\epsilon$, sondern auch von $x$ ab. Je kleiner $x$ wird, desto steiler wird der Funktionsgraph und desto kleiner muss $\delta$ gewählt werden, damit das Bild der $\delta$-Umgebung innerhalb der $\epsilon$-Umgebung von
\mathl{f(x)}{} landet. Es gibt natürlich auch Funktionen, bei denen man zu jedem $\epsilon$ ein $\delta$ findet, dass für alle $x$ die Stetigkeitseigenschaft sichert.




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Dann heißt $f$ \definitionswort {gleichmäßig stetig}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) } }
{ \leq }{\epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}

Der Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig liegt also allein in der Reihenfolge der Quantoren. Das $\delta$, das es in beiden Konzepten zu einem vorgegebenen $\epsilon$ geben muss, hängt bei stetig nicht nur von $\epsilon$, sondern auch vom Punkt $x$ ab, bei gleichmäßig stetig dagegen nur von $\epsilon$.





\inputfaktbeweis
{Abgeschlossenes Intervall/Funktion/Gleichmäßig stetig/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {} auf einem \definitionsverweis {abgeschlossenen beschränkten Intervall}{}{}}
\faktfolgerung {ist \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

 Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punktepaar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-y } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(y) } }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt\zusatzfussnote {Von der Negation der gleichmäßigen Konvergenz her steht hier eigentlich
\mathl{> \epsilon}{,} doch $\geq \epsilon$ reicht für den anvisierten Widerspruch} {} {.} Insbesondere gibt es somit für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Punktepaar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n,y_n }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_n } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_n)-f(y_n) } }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge $x_n$ eine in $\R$ \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{,} deren Grenzwert, nennen wir ihn $x$, wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert. Die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert nach Aufgabe ***** ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen \mathkor {} {f(x_n)} {und} {f(y_n)} {} gegen
\mathl{f(x)}{.} Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon' }
{ < }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist für $n$ hinreichend groß sowohl \mathkor {} {\betrag { f(x_n) -f(x) } \leq \epsilon'} {als auch} {\betrag { f(y_n) - f(x) } \leq \epsilon'} {.} Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x_n) -f(y_n) } }
{ \geq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\zwischenueberschrift{Fortsetzung von stetigen Funktionen}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{\tilde{ T } }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann heißt eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} { \tilde{ T } } { {\mathbb K} } {} eine \definitionswort {stetige Fortsetzung}{} von $f$, wenn $\tilde{f}$ stetig ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{f}(x) }
{ = }{ f(x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}

Eine stetige Funktion besitzt im Allgemeinen keine stetige Fortsetzung auf einen größeren Definitionsbereich. Beispielsweise kann die auf
\mathl{\R \setminus \{0\}}{} definierte Funktion
\mathl{x \mapsto x^{-1}}{} nicht stetig auf ganz $\R$ ausgedehnt werden. Ferner muss eine stetige Fortsetzung (oder Ausdehnung), wenn sie denn existiert, nicht eindeutig sein. Für beide Fragestellungen ist die Existenz von Funktionslimiten in Berührpunkten der Definitionsmenge entscheidend.


\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{{\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Berührpunkt}{} von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die gegen $x$ konvergiert.

}




\inputfaktbeweis
{Stetige Funktion/K/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{{\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge, \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ \tilde{ T } }
{ \subseteq }{{\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}}
\faktvoraussetzung {wobei $\tilde{ T }$ aus \definitionsverweis {Berührpunkten}{}{} von $T$ bestehe. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \tilde{ T } \setminus T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} existiere der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{f}(a) }
{ \defeq} { \begin{cases} f(a) \, ,\text{ falls } a \in T \, , \\ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x) , \,\text{ falls } a \in \tilde{T} \setminus T \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Abbildung eine \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} von $f$ auf $\tilde{T}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \tilde{T} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Da $a$ ein \definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$ ist und da der Grenzwert von $f$ in $a$ existiert \zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} existiert er aufgrund der Stetigkeit} {} {,} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), \tilde{f}(a) \right) } }
{ \leq }{ \epsilon/2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in T, \, d { \left( x, a \right) } \leq \delta}{.} Wir behaupten, dass die Stetigkeitsbedingung mit der Aufwandsgenauigkeit $\delta/2$ erfüllt ist. Es sei also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{ \tilde{T} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( y, a \right) } }
{ \leq }{ \delta/2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) } }
{ \leq }{\delta/2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x) , \tilde{f}(y) \right) } }
{ \leq }{ \epsilon/2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an $y$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, a \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Insgesamt ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( \tilde{f}(a), \tilde{f} (y) \right) } }
{ \leq} { d { \left( \tilde{f}(a), f(x) \right) } + d { \left( f(x) , \tilde{f} (y) \right) } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Gleichmäßig stetig/K/Stetige Fortsetzung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und $\overline{ T }$ die Menge aller \definitionsverweis {Berührpunkte}{}{} von $T$.}
\faktvoraussetzung {Es sei \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {gleichmäßig stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {\tilde{f}} { \overline{ T } } { {\mathbb K} } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund von Satz 14.5 genügt es zu zeigen, dass der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \overline{ T } \setminus T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} existiert. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $T$, die gegen $a$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb K}$ ist, und ${\mathbb K}$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist, genügt es zu zeigen, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} vorliegt. \teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Wegen der \definitionsverweis {gleichmäßigen Stetigkeit}{}{} von $f$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Wegen der Konvergenz der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} handelt es sich nach Satz 6.7 um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x_m \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x_n), f(x_m) \right) } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} die Folge
\mathl{x_0,y_0,x_1,y_1, \ldots}{} betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.}
{}

}





\inputfaktbeweis
{Q nach R/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {} eine \definitionsverweis {gleichmäßig stetige}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte \definitionsverweis {stetige Fortsetzung}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt direkt aus Satz 14.6 und aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \Q } }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\zwischenueberschrift{Reelle Exponentialfunktionen}

Für jede positive reelle Zahl $b$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $b^n$ eine positive reelle Zahl, wobei die Potenzgesetze gelten, siehe Aufgabe *****. Für eine weitere natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine positive reelle Zahl $y$ ist
\mathl{y^{1/m}}{} definiert. Für eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{ n/m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^q }
{ = }{ (b^n)^{1/m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert, und zwar ist dies unabhängig von der Wahl der Zähler und Nenner in der Darstellung von $q$, siehe Aufgabe 14.9.


\inputfaktbeweis
{Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}
\faktuebergang {Dann besitzt die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\Q} {\R } {q} {b^q } {,} folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{q+q'} }
{ = }{b^q \cdot b^{q'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q' }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-q} }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^q } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^q }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{q})^{q'} }
{ = }{ b^{ q \cdot q'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q,q' }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^q }
{ = }{ a^q \cdot b^q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 14.10. }





\inputfaktbeweis
{Q/q auf b^q/Gleichmäßig stetig auf Intervall/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\Q} {\R } {q} {b^q } {,} auf jedem \definitionsverweis {beschränkten}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{} \definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir betrachten Intervalle der Form
\mathl{[-n,n]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Aufgrund der Monotonie ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^q }
{ \leq} { m }
{ \defeq} {{\max { \left( b^n , b^{-n} \right) } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{ [-n,n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Die Folge
\mathl{{ \left( b^{1/k} \right) }_{ k \in \N }}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} nach Aufgabe ***** gegen $1$, daher gibt es insbesondere ein $k$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { b^{1/k}-1 } }
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ m } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ = }{ 1/k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann gelten für zwei beliebige rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q,q' }
{ \in }{ [-n,n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { q'-q } }
{ \leq} { \delta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} unter Verwendung der Funktionalgleichung die Abschätzungen \zusatzklammer {wir beschränken uns auf den Fall \mathkor {} {b \geq 1} {und} {q' \geq q} {}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { b^{q'}-b^q } }
{ =} { \betrag { { \frac{ b^{q'} }{ b^q } } -1 } \cdot b^q }
{ \leq} { \betrag { b^{q'-q}-1 } \cdot m }
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ m } } \cdot m }
{ =} { \epsilon }
} {}{}{.}

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exponentials(2).svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Exponentialfunktionen für die Basen $b=10, \frac{1}{2}$ und $e$.} }

\bildlizenz { Exponentials(2).svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}


Aufgrund von Lemma 14.9 und Korollar 14.7 \zusatzklammer {mit einem beliebigen Intervall
\mathl{[-n,n]}{} statt ganz $\Q$.} {} {} lassen sich die zunächst nur auf $\Q$ definierten Exponentialfunktionen zu stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen fortsetzen. In diesem Sinn ist die folgende Definition zu verstehen.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $b$ eine positive \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} heißt \definitionswort {Exponentialfunktion}{} zur \stichwort {Basis} {} $b$.

}





\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}}\faktuebergangpos {Dann besitzt die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {b^x } {,} folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{x+x'} }
{ = }{ b^x \cdot b^{x'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^{-x} }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ b^x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^x }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $f$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b^{x})^{x'} }
{ = }{ b^{ x \cdot x'} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (ab)^x }
{ = }{ a^x \cdot b^x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wir beweisen (1), die anderen Eigenschaften ergeben sich ähnlich, siehe Aufgabe *****. Es sei $x_n$ eine rationale Folge, die gegen $x$ konvergiert, und $y_n$ eine rationale Folge, die gegen $x'$ konvergiert. Dann ist nach Lemma 6.1  (1) die Folge
\mathl{x_n+y_n}{} eine rationale Folge, die gegen
\mathl{x+x'}{} konvergiert. Somit ist unter Verwendung der rationalen Funktionalgleichung und von Lemma 6.1  (2) und der Stetigkeit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ b^{x+x'} }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} b^{ x_n+y_n} }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( b^{ x_n} \cdot b^{y_n} \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} b^{ x_n} \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} b^{y_n} \right) } }
{ =} { b^x b^{x'} }
} {} {}{.}

}

Eine besondere Rolle spielt die Exponentialfunktion zur Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir werden dafür bald eine weitere Beschreibung kennenlernen, die auch für komplexe Exponenten erklärt ist.