Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}v,w\in \mathbb {R} ^{n}$. Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto tv+w.$

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Kurve und ${}c\in [a,b]$. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von ${}f$ auf ${}[a,c]$ und auf ${}[c,b]$ rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall

${}L_{a}^{b}(f)=L_{a}^{c}(f)+L_{c}^{b}(f)\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-5x^{2}+3x-2,$

von ${}-5$ nach ${}5$.

Aufgabe *

Bestimme die Länge der durch

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegebenen Schraubenlinie für ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe *

Berechne die Länge der archimedischen Spirale

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$

für die Umdrehung zwischen ${}t=0$ und ${}t=2\pi$.

Aufgabe

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}),$

von ${}0$ bis ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{>0}$.

Aufgabe

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus ${}\cosh t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe *

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x^{2}-x+13,$

zwischen ${}4$ und ${}8$.

Aufgabe *

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten die reelle Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt ${}M=(0,0)$ und Radius ${}3$, also

${}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\geq 3\right\}}\,.$

Eine Person befindet sich im Punkt ${}A=(5,0)$ und möchte zum Punkt ${}B=(-5,0)$, wobei sie sich nur in ${}T$ bewegen darf.

a) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge ${}12,5$ ist.

b) Zeige, dass die Person von ${}A$ nach ${}B$ entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal ${}11,9$ ist.

Aufgabe *

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

${}L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.$

Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ${}>1$ ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die nicht rektifizierbar ist.

Die folgenden Aufgaben diskutieren, inwiefern höherdimensional ein „Mittelwertsatz“ gelten kann.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s\neq 0$, gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s>0$, gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt ${}0$ von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit ${}v$ abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve ${}f(t)$ des Körpers und die zurückgelegte Strecke ${}s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit ${}t$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{3}}x^{2}-4x+11,$

zwischen ${}2$ und ${}9$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {t^{3}}{3}},{\frac {4t^{5}}{5}},{\frac {8t^{7}}{7}}\right)},$

von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion ${}\exp t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$. Zeige, dass es ein ${}c\in [a,b]$ derart gibt, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.