Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 37

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Bilder und die Graphen der folgenden Kurven im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{2}\right)}$,
2. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}\right)}$,
3. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},t\right)}$,
4. ${}t\longmapsto {\left(2t,3t\right)}$,
5. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3}\right)}$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für verschiedene Kurven

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

deren Bilder (Bahnen) aber übereinstimmen.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto f(t)={\left(t^{2}-\sin t,e^{-t}+2t^{3},t\cdot \sinh t+{\frac {1}{t^{2}+1}}\right)},$

in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {\sin t^{2}}{t^{5}}},4^{t},{\frac {e^{-t}}{\sqrt {t}}}\right)},$

für jeden Punkt ${}t\in \mathbb {R} _{+}$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}v,w\in V$. Zeige, dass die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto tv+w,$

differenzierbar ist mit der Ableitung ${}f'(t)=v$.

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow V$

zwei in ${}t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}t_{0}$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Die Summe

   $f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),$

   ist in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.$

2. Das Produkt

   $hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)f(t),$

   ist differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})f'(t_{0})+h'(t_{0})f(t_{0})\,.$

   Insbesondere ist für ${}c\in \mathbb {R}$ auch ${}cf$ differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.$

3. Wenn ${}h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

   ${\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},$

   in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.$

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktionen

$B_{0}(t)=(1-t)^{2},\,B_{1}(t)=2t(1-t){\text{ und }}B_{2}(t)=t^{2}.$

Es seien ${}v_{0},v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

${}f(t):=B_{0}(t)v_{0}+B_{1}(t)v_{1}+B_{2}(t)v_{2}\,.$

a) Berechne ${}f(0)$ und ${}f(1)$.

b) Berechne ${}f'(t)$.

c) Zeige, dass ${}f'(0)$ ein Vielfaches von ${}v_{1}-v_{0}$ und ${}f'(1)$ ein Vielfaches von ${}v_{2}-v_{1}$ ist.

d) Skizziere für ${}v_{0}=(0,1)$, ${}v_{1}=(1,1)$ und ${}v_{2}=(2,0)$ das Bild der Kurve ${}f(t)$ für ${}0\leq t\leq 1$.

Aufgabe

Das Bild der durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllt.

Aufgabe

Sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$

Bestimme die Punkte ${}t_{0}\in \mathbb {R}$, für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte ${}f(t)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)$ zum Punkt ${}(1,0)$ minimal wird.

Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine differenzierbare Kurve und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Es sei ${}t_{0}\in \mathbb {R}$ derart, dass der Abstand ${}d(P,f(t))$ (zwischen ${}P$ und einem Kurvenpunkt) in ${}t_{0}$ minimal werde. Zeige, dass ${}P-f(t_{0})$ senkrecht zu ${}f'(t_{0})$ ist.

Aufgabe

Betrachte die differenzierbare Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3},\,e^{t}\right).$

Bestimme einen Kreis (mit Mittelpunkt und Radius) und eine Parametrisierung ${}\psi$ dieses Kreises derart, dass ${}\psi$ und ${}\varphi$ für ${}t=1$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}G={\left\{(x,\vert {x}\vert )\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau ${}G$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt und sei ${}I={]{-1},1[}$. Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\mid f{\text{ differenzierbar}},\,f(0)=P\right\}}\,.$

Wir nennen zwei Kurven ${}f,g\in M$ tangential äquivalent, wenn

${}f'(0)=g'(0)\,$

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {R} ^{2}$ endlich viele Punkte und sei ${}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass es zu je zwei Punkten ${}P,Q\in M$ eine differenzierbare Kurve

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow M$

mit ${}\varphi (0)=P$ und ${}\varphi (1)=Q$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Betrachte die Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,x\longmapsto \left(x^{2}-x,\,x^{3}+\sinh x,\,\sin(x^{2})\right).$

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ in jedem Punkt ${}x$.

b) Bestimme die Komponentenfunktionen von ${}f$ bezüglich der neuen Basis

$(1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0)$

von ${}\mathbb {R} ^{3}$.

c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Lemma 37.8.

Aufgabe (3 Punkte)

Für welche Punkte ${}t\in \mathbb {R}$ ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (2\sin t,3\cos t),$

zum Nullpunkt ${}(0,0)$ maximal, für welche minimal?

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},$

die einem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ den eindeutigen Schnittpunkt ${}\neq (0,-1)$ der durch die beiden Punkte ${}(t,1)$ und ${}(0,-1)$ gegebenen Geraden ${}G_{t}$ mit dem Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass ${}f$ differenzierbar ist. Ist ${}f$ injektiv, ist ${}f$ surjektiv?

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle ${}2$ Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius ${}3$ Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle ${}8$ Sekunden um einen großen Kreis mit Radius ${}10$ Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt ${}t=0$ besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand ${}13$ Meter.

a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang (in einem geeigneten Koordinatensystem) als eine differenzierbare Kurve.

b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

c) Berechne die Geschwindigkeit (den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme in der Situation von Aufgabe 37.20 die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.

Fußnoten