Übungsaufgaben
Skizziere die
Bilder
und die
Graphen
der folgenden
Kurven
im R 2 {\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}} .
t ⟼ ( t 2 , t 2 ) {\displaystyle {}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{2}\right)}} ,
t ⟼ ( t 2 , − t 2 ) {\displaystyle {}t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}\right)}} ,
t ⟼ ( t 2 , t ) {\displaystyle {}t\longmapsto {\left(t^{2},t\right)}} ,
t ⟼ ( 2 t , 3 t ) {\displaystyle {}t\longmapsto {\left(2t,3t\right)}} ,
t ⟼ ( t 2 , t 3 ) {\displaystyle {}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3}\right)}} .
Man gebe ein Beispiel für verschiedene Kurven
f , g : R ⟶ R 2 , {\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},} deren
Bilder
(Bahnen)
aber übereinstimmen.
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
f : R ⟶ R 3 , t ⟼ f ( t ) = ( t 2 − sin t , e − t + 2 t 3 , t ⋅ sinh t + 1 t 2 + 1 ) , {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto f(t)={\left(t^{2}-\sin t,e^{-t}+2t^{3},t\cdot \sinh t+{\frac {1}{t^{2}+1}}\right)},} in jedem Punkt t ∈ R {\displaystyle {}t\in \mathbb {R} } .
Bestimme die
Ableitung
der Kurve
φ : R + ⟶ R 3 , t ⟼ ( sin t 2 t 5 , 4 t , e − t t ) , {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {\sin t^{2}}{t^{5}}},4^{t},{\frac {e^{-t}}{\sqrt {t}}}\right)},} für jeden Punkt t ∈ R + {\displaystyle {}t\in \mathbb {R} _{+}} .
Es sei I {\displaystyle {}I} ein reelles Intervall und V {\displaystyle {}V} ein
euklidischer Vektorraum .
Es seien
f , g : I ⟶ V {\displaystyle f,g\colon I\longrightarrow V} zwei in
t 0 ∈ I {\displaystyle {}t_{0}\in I}
differenzierbare Kurven
und es sei
h : I ⟶ R {\displaystyle h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} } eine in t 0 {\displaystyle {}t_{0}}
differenzierbare Funktion .
Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
Die Summe
f + g : I ⟶ V , t ⟼ f ( t ) + g ( t ) , {\displaystyle f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),} ist in t 0 {\displaystyle {}t_{0}} differenzierbar mit
( f + g ) ′ ( t 0 ) = f ′ ( t 0 ) + g ′ ( t 0 ) . {\displaystyle {}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.}
Das Produkt
h f : I ⟶ V , t ⟼ h ( t ) f ( t ) , {\displaystyle hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)f(t),} ist differenzierbar in t 0 {\displaystyle {}t_{0}} mit
( h f ) ′ ( t 0 ) = h ( t 0 ) f ′ ( t 0 ) + h ′ ( t 0 ) f ( t 0 ) . {\displaystyle {}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})f'(t_{0})+h'(t_{0})f(t_{0})\,.} Insbesondere ist für
c ∈ R {\displaystyle {}c\in \mathbb {R} }
auch c f {\displaystyle {}cf} differenzierbar in t 0 {\displaystyle {}t_{0}} mit
( c f ) ′ ( t 0 ) = c f ′ ( t 0 ) . {\displaystyle {}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.}
Wenn h {\displaystyle {}h} nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
f h : I ⟶ V , t ⟼ f ( t ) h ( t ) , {\displaystyle {\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},} in t 0 {\displaystyle {}t_{0}} differenzierbar mit
( f h ) ′ ( t 0 ) = h ( t 0 ) f ′ ( t 0 ) − h ′ ( t 0 ) f ( t 0 ) ( h ( t 0 ) ) 2 . {\displaystyle {}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.}
Es seien
f , g : R ⟶ R n {\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}} differenzierbare Kurven .
Berechne die
Ableitung
der Funktion
R ⟶ R , t ⟼ ⟨ f ( t ) , g ( t ) ⟩ . {\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .} Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.
Wir betrachten die Funktionen
B 0 ( t ) = ( 1 − t ) 2 , B 1 ( t ) = 2 t ( 1 − t ) und B 2 ( t ) = t 2 . {\displaystyle B_{0}(t)=(1-t)^{2},\,B_{1}(t)=2t(1-t){\text{ und }}B_{2}(t)=t^{2}.} Es seien v 0 , v 1 , v 2 ∈ R n {\displaystyle {}v_{0},v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}} drei Vektoren. Wir definieren die Kurve
f ( t ) := B 0 ( t ) v 0 + B 1 ( t ) v 1 + B 2 ( t ) v 2 . {\displaystyle {}f(t):=B_{0}(t)v_{0}+B_{1}(t)v_{1}+B_{2}(t)v_{2}\,.} a) Berechne
f ( 0 ) {\displaystyle {}f(0)} und f ( 1 ) {\displaystyle {}f(1)} .
b) Berechne f ′ ( t ) {\displaystyle {}f'(t)} .
c) Zeige, dass f ′ ( 0 ) {\displaystyle {}f'(0)} ein Vielfaches von v 1 − v 0 {\displaystyle {}v_{1}-v_{0}} und f ′ ( 1 ) {\displaystyle {}f'(1)} ein Vielfaches von v 2 − v 1 {\displaystyle {}v_{2}-v_{1}} ist.
d) Skizziere für v 0 = ( 0 , 1 ) {\displaystyle {}v_{0}=(0,1)} , v 1 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle {}v_{1}=(1,1)} und v 2 = ( 2 , 0 ) {\displaystyle {}v_{2}=(2,0)} das Bild der Kurve f ( t ) {\displaystyle {}f(t)} für 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle {}0\leq t\leq 1} .
Das
Bild
der durch
R ⟶ R 2 , t ⟼ ( t 2 , t 3 ) , {\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),} definierten Kurve heißt Neilsche Parabel . Zeige, dass ein Punkt
( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}
genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
x 3 = y 2 {\displaystyle {}x^{3}=y^{2}}
erfüllt.
Sei
f : R ⟶ R 2 , t ⟼ ( t 2 , t 3 ) . {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).} Bestimme die Punkte t 0 ∈ R {\displaystyle {}t_{0}\in \mathbb {R} } , für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte f ( t ) = ( t 2 , t 3 ) {\displaystyle {}f(t)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)} zum Punkt ( 1 , 0 ) {\displaystyle {}(1,0)} minimal wird.
Wir betrachten die Kurve
R ⟶ R 2 , t ⟼ ( t 2 − 1 , t 3 − t ) . {\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).} a) Zeige, dass die
Bildpunkte
( x , y ) {\displaystyle {}(x,y)} der Kurve die Gleichung
y 2 = x 2 + x 3 {\displaystyle {}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,} erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} mit
y 2 = x 2 + x 3 {\displaystyle {}y^{2}=x^{2}+x^{3}}
zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte
t 1 {\displaystyle {}t_{1}} und t 2 {\displaystyle {}t_{2}}
mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
Es sei
G = { ( x , | x | ) ∣ x ∈ R } ⊆ R 2 {\displaystyle {}G={\left\{(x,\vert {x}\vert )\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
der
Graph
der
reellen Betragsfunktion .
Man gebe eine
differenzierbare Kurve
f : R ⟶ R 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}} an, deren
Bild
genau G {\displaystyle {}G} ist.
Es sei
P ∈ R n {\displaystyle {}P\in \mathbb {R} ^{n}}
ein Punkt und sei
I = ] − 1 , 1 [ {\displaystyle {}I={]{-1},1[}} .
Wir betrachten die Menge
M = { f : I → R n ∣ f differenzierbar , f ( 0 ) = P } . {\displaystyle {}M={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\mid f{\text{ differenzierbar}},\,f(0)=P\right\}}\,.} Wir nennen zwei
Kurven
f , g ∈ M {\displaystyle {}f,g\in M}
tangential äquivalent , wenn
f ′ ( 0 ) = g ′ ( 0 ) {\displaystyle {}f'(0)=g'(0)\,} ist.
a) Zeige, dass dies eine
Äquivalenzrelation
ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die
Äquivalenzklassen .
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen
(also die
Quotientenmenge ).
Es seien
P 1 , … , P n ∈ R 2 {\displaystyle {}P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {R} ^{2}}
endlich viele Punkte und sei
M = R 2 ∖ { P 1 , … , P n } {\displaystyle {}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}} .
Zeige, dass es zu je zwei Punkten
P , Q ∈ M {\displaystyle {}P,Q\in M}
eine
differenzierbare Kurve
φ : [ 0 , 1 ] ⟶ M {\displaystyle \varphi \colon [0,1]\longrightarrow M} mit
φ ( 0 ) = P {\displaystyle {}\varphi (0)=P} und φ ( 1 ) = Q {\displaystyle {}\varphi (1)=Q}
gibt.
Aufgaben zum Abgeben Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)
Betrachte die
Kurve
f : R ⟶ R 3 , x ⟼ ( x 2 − x , x 3 + sinh x , sin ( x 2 ) ) . {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,x\longmapsto \left(x^{2}-x,\,x^{3}+\sinh x,\,\sin(x^{2})\right).} a) Bestimme die
Ableitung von f {\displaystyle {}f} in jedem Punkt x {\displaystyle {}x} .
b) Bestimme die Komponentenfunktionen von f {\displaystyle {}f} bezüglich der neuen Basis
( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 4 , 6 ) , ( 1 , − 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0)} von R 3 {\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}} .
c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von
Lemma 37.8 .
Für welche Punkte t ∈ R {\displaystyle {}t\in \mathbb {R} } ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve
R ⟶ R 2 , t ⟼ ( 2 sin t , 3 cos t ) , {\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (2\sin t,3\cos t),} zum Nullpunkt
( 0 , 0 ) {\displaystyle {}(0,0)} maximal, für welche minimal?
Wir betrachten die Abbildung
f : R ⟶ S 1 ⊆ R 2 , {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},} die einem Punkt t ∈ R {\displaystyle {}t\in \mathbb {R} } den eindeutigen Schnittpunkt ≠ ( 0 , − 1 ) {\displaystyle {}\neq (0,-1)} der durch die beiden Punkte
( t , 1 ) {\displaystyle {}(t,1)} und ( 0 , − 1 ) {\displaystyle {}(0,-1)}
gegebenen Geraden G t {\displaystyle {}G_{t}} mit dem
Einheitskreis
S 1 = { ( x , y ) ∈ R 2 ∣ x 2 + y 2 = 1 } {\displaystyle {}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,} zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass f {\displaystyle {}f}
differenzierbar
ist. Ist f {\displaystyle {}f}
injektiv ,
ist f {\displaystyle {}f}
surjektiv ?
Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)
Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle 2 {\displaystyle {}2} Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius 3 {\displaystyle {}3} Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle 8 {\displaystyle {}8} Sekunden um einen großen Kreis mit Radius 10 {\displaystyle {}10} Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt t = 0 {\displaystyle {}t=0} besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand 13 {\displaystyle {}13} Meter.
a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang
(in einem geeigneten Koordinatensystem)
als eine
differenzierbare Kurve .[1]
b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
c) Berechne die Geschwindigkeit
(den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.
Bestimme in der Situation von
Aufgabe 37.19
die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.
Fußnoten ↑ Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus.