Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel „Die Wucht der großen Zahl“ (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):

„Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.“

1. Beschleunigt sich lineares Wachstum „ständig selbst“?
2. Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion ${}f(x)=x^{2}$ „ständig selbst“?
3. Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
4. Wenn man exponentielles Wachstum „verlangsamen“ möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter (welche?) für exponentielles Wachstum?

Aufgabe *

1. Es sei ${}a>1$ und ${}g(x)=a^{x}$ die Exponentialfunktion zur Basis ${}a$. Zeige, dass es ein ${}w\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}g(x+w)=2g(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.
2. Es sei ${}w>0$ vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion ${}b^{x}$ mit ${}b>1$ und mit

   ${}b^{x+w}=2b^{x}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$ gibt.

3. Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit ${}f(x+1)=2f(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$, die keine Exponentialfunktion ist.

Aufgabe

Bestimme, für welche ${}c,d\in \mathbb {R}$ die Differentialgleichung mit Verzögerung

${}y'(t)=c(y(t)-y(t-d))\,$

eine Lösung der Form

${}y(t)=\alpha t+\beta \,$

besitzt.

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y\,.$

Aufgabe

Finde alle Lösungen zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=cy\,.$

Kommentar:

Mit der Kurzschreibweise

${}y'=cy\,$

ist

${}y'(t)=cy(t)\,$

gemeint, dies ist eine Gleichung von zwei Funktionen, und das heißt, dass für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die Gleichheit vorliegt. Dies ist eine Bedingung an eine bekannte oder unbekannte Funktion ${}y$, die von ${}t$ abhängt. Damit die linke Seite sinnvoll ist, muss die Funktion differenzierbar sein. Wenn man sich irgendwie eine Funktion vorgibt, so kann man einfach überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Eine „zufällig“ gewählte Funktion erfüllt nahezu nie die Bedingung. Wenn man etwa

${}y(t)=\cos t\,$

nimmt, so steht links

${}{\left(\cos t\right)}'=-\sin t\,$

und das ist (egal was ${}c$ ist) nicht die rechte Seite.

Im Allgemeinen ist es schwer, eine Lösung zu finden, hier gibt es aber, wie in der Vorlesung erwähnt, die Lösung

$e^{ct}.$

Nach [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz 20.11 ]] und der Kettenregel ist

${}{\left(e^{ct}\right)}'=ce^{ct}\,$

und das ist das ${}c$-fache der Funktion ${}e^{ct}$. Deshalb ist es eine Lösung. Der Nachweis, dass eine bestimmte Funktion die Differentialgleichung erfüllt, ist also zumeist einfach, man muss halt differenzieren können und dann die beiden Seiten vergleichen. Etwas allgemeiner als die eben hingeschriebene Lösung ist

$ae^{ct}$

mit einem ${}a\in \mathbb {R}$, aus dem gleichen Grund.

Von einem ganz anderen Schwierigkeitsgrad ist der Nachweis, dass jede Lösung einer Differentialgleichung von einer bestimmten Bauart ist.Hier gibt es einerseits Sätze, aus denen man das manchmal folgern kann, die wir aber jetzt noch nicht zur Verfügung haben. Oder man muss eben irgendwie eine Idee haben, wie man im vorliegenden Fall das direkt begründen kann. Wir behaupten, dass die Funktionen ${}ae^{ct}$ die einzigen Lösungen der vorliegenden Differentialgleichung sind. Wir müssen also zeigen, dass wenn ${}y$ eine differenzierbare Funktion ist, die die Differentialgleichung erfüllt, und von der wir sonst gar nichts wissen, dass dann schon folgt, dass sie von der Form ${}ae^{ct}$ ist.

Dazu braucht man einen Trick. Allgemein: Wenn man zeigen möchte, dass zwei Funktionen ${}f$ und ${}g$ gleich sind, ist es oft geschickt zu zeigen, dass ihre Differenz ${}f-g$ gleich ${}0$ ist oder dass ihr Quotient ${}f/g$ gleich ${}1$ ist (wenn ${}g$ nullstellenfrei ist). Hier hat man nicht zwei Funktionen, sondern eine Funktion ${}y$ und die Funktionsklasse ${}ae^{ct}$, ${}a\in \mathbb {R}$. Der Trick mit dem Quotienten klappt hier aber. Man betrachtet die Hilfsfunktion

$y(t)\cdot e^{-ct},$

das Minuszeichen im Exponenten übernimmt die Rolle der Division durch ${}e^{ct}$. Die Funktion ${}y$ ist nicht bekannt, man kann mit ihr aber alles machen, was man mit Funktionen machen darf. Da ${}y$ nach Voraussetzung differenzierbar ist, ist auch dieses Produkt differenzierbar und nach der produktregel gilt

${}{\begin{aligned}{\left(y(t)\cdot e^{-ct}\right)}'&=y'(t)\cdot e^{-ct}+y(t)\cdot {\left(e^{-ct}\right)}'\\&=y'(t)\cdot e^{-ct}-cy(t)\cdot e^{-ct}\\&=cy(t)\cdot e^{-ct}-cy(t)\cdot e^{-ct}\\&=0,\end{aligned}}$

zuletzt wurde die Voraussetzung an ${}y$ verwendet, dass es die Differentialgleichung erfüllt. Wir haben also eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung gleich ${}0$ ist. Aus dem ersten Semester wissen wir, dass dann die Funktion konstant ist. Es gibt also ein ${}a\in \mathbb {R}$ mit

${}y(t)\cdot e^{-ct}=a\,.$

Multiplikation mit ${}e^{ct}$ ergibt

${}y(t)=ae^{ct}\,.$

 

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y'=2{\text{ mit }}y(5)=3.$

Aufgabe *

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{2}-3t+4{\text{ mit }}y(-1)=-5.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=\sin t{\text{ mit }}y(\pi )=7.$

Aufgabe

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{3}-2t+5{\text{ mit }}y(3)=4.$

Aufgabe

Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer ortsunabhängigen Differentialgleichung der Abstand zwischen zwei Lösungen ${}y_{1}$ und ${}y_{2}$ zeitunabhängig ist, d.h. dass ${}y_{1}(t)-y_{2}(t)$ konstant ist.

Man gebe ein Beispiel, dass dies bei zeitunabhängigen Differentialgleichungen nicht der Fall sein muss.

Aufgabe

Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.

Aufgabe

Wie sieht der Graph einer Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

aus, die nur von einer Variablen abhängt.

Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.18 voraus.

Aufgabe

Es sei

${}D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und die Dimension der Eigenräume der Ableitung

$D(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)},\,f\longmapsto f'.$

Aufgabe

Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=cy^{\frac {2}{3}}\,$

mit ${}c\in \mathbb {R} _{+}$.

Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu Beispiel 28.12.

Aufgabe

Zeige, dass ${}y(x)=x^{n}$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$) eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=ny^{\frac {n-1}{n}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ ist.

Aufgabe *

a) Es sei

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. ${}f(t,y)\neq 0$ für alle ${}(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

${}y'=f(t,y)\,$

injektiv ist.

b) Es sei ${}f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass ${}f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.

Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion ${}y(t)$ (nicht die Nullfunktion), die die Bedingung

${}y'(t)=y(t-1)\,$

erfüllt (dabei ist $y(t-1)$ als der Wert der Funktion ${}y$ an der Stelle $t-1$ zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen ${}y$ mit ${}t-1$; es handelt sich also nicht um eine Differentialgleichung).

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y{\text{ mit }}y(0)=3{\text{ und }}y^{\prime }(0)=-2.$

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=5{\text{ und }}y^{\prime }(0)=6.$

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=-cy\,$

mit ${}c>0$.

Kommentar:

Wir wissen bereits, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus Lösungen der Differentialgleichung ${}y''=-y$ sind und somit zwei Lösungen für den Spezialfall ${}c=1$ sind. Durch kleine Anpassung können wir daraus Lösungen für die Differentialgleichung ${}y'=-cy$ bauen. Tatsächlich stellen wir durch zweimaliges Ableiten feststellen, dass ${}\sin({\sqrt {c}}t)$ eine Lösung darstellt, ebenso wie ${}\cos({\sqrt {c}}t)$.

Nun haben wir zwei verschiedene Lösungen gefunden. Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, sodass alle Linearkombinationen der beiden gefundenen Lösungen ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. Dies kann man sich wieder durch Einsetzen in die Differentialgleichung klarmachen. So erhalten wir den zweidimensionalen Lösungsraum

$\{\lambda \sin({\sqrt {c}}t)+\mu \cos({\sqrt {c}}t)\mid \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}.$

Dies lässt sich auch anhand der Potenzreihenentwicklung verstehen. Wir machen den Ansatz

$y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {t^{k}}{k!}}$

mit Koeffizienten ${}a_{k}\in \mathbb {R}$. Für die zweite Ableitung ergibt sich durch formales Ableiten

$y''(t)=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}{\frac {k(k-1)t^{k-2}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k+2}{\frac {t^{k}}{k!}}.$

Setzen wir das nun in die Differentialgleichung ${}y''=-cy$ ein, stellen wir durch Koeffizientenvergleich fest, dass ${}a_{k+2}=-ca_{k}$ für alle ${}k\in \mathbb {N}$ gilt. Das bedeutet, dass die Potenzreihe ${}y(t)$ bereits durch die ersten beiden Koeffizienten ${}a_{0},a_{1}$ vollständig festgelegt wird, da sich die restlichen Koeffizienten rekursiv daraus berechnen lassen. Der Lösungsraum ist daher tatsächlich zweidimensional.

Explizit ergibt sich für die Koeffizienten die Beschreibung ${}a_{2n}=(-c)^{n}a_{0}$ und ${}a_{2n+1}=(-c)^{n}a_{1}$. Wie müssen wir nun ${}a_{0}$ und ${}a_{1}$ wählen, um unsere zuvor gefundenen Lösungen in Abhängigkeit von ${}\lambda ,\mu$ zurückzuerhalten? Die Potenzreihendarstellung der Sinus- und der Kosinusfunktion ist hierfür hilfreich.

 

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung

${}y^{(n)}=0\,$

einen ${}n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=3t^{2}-4t+7{\text{ mit }}y(2)=5.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}y'=y+t\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'={\frac {t^{3}}{t^{2}+1}}{\text{ mit }}y(1)=2.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

${}y'(t)={\frac {1}{\sinh t}}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$ mit der Anfangsbedingung ${}y(1)=7$.

Tipp: Man schreibe Sinus hyperbolicus mit der Exponentialfunktion, führe die Substitution ${}s=e^{t}$ durch und finde so eine Stammfunktion.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde alle polynomialen Lösungen der Differentialgleichung dritter Ordnung

${}y^{\prime \prime \prime }=9y-3ty'+y^{\prime \prime }\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ unendlich oft differenzierbare Funktionen

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),$

derart gibt, dass die ${}n$-te Ableitung ${}f^{(n)}$ mit ${}f$ übereinstimmt, die Ableitungen ${}f^{(i)}$, ${}i<n$, aber nicht.

Tipp=Denke an Potenzreihen.