Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Funktionenfolgen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exp_series.gif} }
\end{center}
\bildtext {Eine (vertikal gestauchte) Darstellung der ersten acht polynomialen Approximationen der reellen Exponentialfunktion} }
\bildlizenz { Exp series.gif } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir haben das letzte Mal gesehen, dass die Exponentialreihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stellt also die Polynomfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n(z)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \frac{z^k}{k!}
}
{ =} { 1+z+ \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \cdots + \frac{z^n}{n!}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine \anfuehrung{approximierende Funktion}{} für die Exponentialfunktion dar. Dabei ist allerdings die Güte der Approximation abhängig von $z$
\zusatzklammer {bei fixiertem $n$} {} {.}
In dieser Vorlesung werden wir verschiedene Konzepte vorstellen, wie man eine Funktion als Grenzfunktion einer Funktionenfolge auffassen kann. Eine unmittelbare Anwendung wird sein, dass die Exponentialfunktion stetig ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Man sagt, dass die Funktionenfolge \definitionswort {punktweise konvergiert}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }} { }
\zusatzklammer {in ${\mathbb K}$} {} {}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ \defeq} { \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine sogenannte \stichwort {Grenzfunktion} {}
\maabb {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
definiert.
Die Funktionenfolge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ = }{ \sum_{k = 0 }^n { \frac{ 1 }{ k! } } z^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert punktweise, die Grenzfunktion ist die Exponentialfunktion.
Selbst wenn
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
sämtliche Funktionen $f_n$ stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Drini nonuniformconvergence SVG.svg} }
\end{center}
\bildtext {Ein ähnliches Beispiel.} }
\bildlizenz { Drini nonuniformconvergence SVG.svg } {} {IkamusumeFan} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbeledisp {f_n} {[0,1]} {\R
} {x} {x^n
} {.}
Für jedes
\mathbed {x \in [0,1]} {}
{x < 1} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x^n \right) }_{ n \in \N }}{} nach
Aufgabe 8.16
gegen $0$ und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt die konstante Folge zum Wert $1$ vor. Die Grenzfunktion ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \, \text{ falls } x <1\, , \\ 1 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Diese Funktion ist nicht
\definitionsverweis {stetig}{}{,}
obwohl alle $f_n$ stetig sind.
}
Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.} Man sagt, dass die Funktionenfolge \definitionswort {gleichmäßig konvergiert}{,} wenn es eine Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {}
derart gibt, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ mit
\mathdisp {d { \left( f_n(x) , f(x) \right) } \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0 \text{ und alle } x \in T} { }
gibt.
}
Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion $f$ aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion.
\inputfaktbeweis
{Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und es sei}
\faktvoraussetzung {\maabbdisp {f_n} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Folge von
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{,}
die
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
gegen die Funktion $f$ konvergiert.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Aufgrund der
\definitionsverweis {gleichmäßigen Konvergenz}{}{}
gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f_n(y), f(y) \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon/3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der
\definitionsverweis {Stetigkeit}{}{}
von
\mathl{f_{n_0}}{} in $x$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon/3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, y \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese $y$ gilt somit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d { \left( f(x), f(y) \right) }
}
{ \leq} { d { \left( f(x), f_{n_0}(x) \right) } + d { \left( f_{n_0} (x), f_{n_0} (y) \right) } + d { \left( f_{n_0} (y), f(y) \right) }
}
{ \leq} {\epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Das Konvergenzkriterium von Weierstraß}
\inputdefinition
{
}
{
Es sei $T$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {T} {{\mathbb K}
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {f} \Vert
}
{ \defeq} { \Vert {f} \Vert_T
}
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \betrag { f(x) } {{|}} x \in T ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Supremum}{}
\zusatzklammer {oder die \definitionswort {Supremumsnorm}{}} {} {}
von $f$. Es ist eine
\definitionsverweis {nichtnegative}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
oder $\infty$.
}
Die folgende Aussage heißt das \stichwort {Konvergenzkriterium von Weierstraß} {.} Es geht darin um Funktionenfolgen $f_n$, die als Partialsummen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_n
}
{ = }{\sum_{k = 0}^n g_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von Funktionen $g_k$ gegeben sind, wie dies auch bei Potenzreihen der Fall ist.
\inputfaktbeweis
{Funktionenfolge nach K/Konvergenzkriterium mit Supremumsnorm/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $T$ eine Menge und sei
\maabbdisp {g_k} {T} { {\mathbb K}
} {}
eine Funktionenfolge mit}
\faktvoraussetzung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^\infty \Vert {g_k} \Vert
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{}
\zusatzklammer {also die Funktionenfolge
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ f_n
}
{ = }{ \sum_{k = 0}^n g_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {gleichmäßig}{}{}
und
\definitionsverweis {punktweise}{}{} \definitionsverweis {absolut}{}{}
gegen eine Funktion
\maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K}
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { g_k(x) }
}
{ \leq }{ \Vert {g_k} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist aufgrund des
Majorantenkriteriums
die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k(x)}{}
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{,}
und das bedeutet, dass die Funktionenreihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{} punktweise absolut konvergiert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n (x)
}
{ \defeq }{ \sum_{k = 0}^n g_k(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty g_k(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wollen zeigen, dass die Funktionenfolge $f_n$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Aufgrund des
Cauchy-Kriteriums
für Reihen gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = n+1}^\infty \Vert {g_k} \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit haben wir für
\mathkor {} {n \geq n_0} {und jedes} {x \in T} {}
insgesamt die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f_n (x) -f(x) }
}
{ =} { \betrag { \sum_{ k = n+1}^\infty g_k (x) }
}
{ \leq} { \sum_{ k = n+1} ^\infty \betrag { g_k(x) }
}
{ \leq} { \sum_{ k = n+1} ^\infty \Vert {g_k } \Vert
}
{ \leq} { \epsilon
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Konvergenz von Potenzreihen}
Es seien
\mathbed {c_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
komplexe Zahlen,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\sum_{k=0}^\infty c_k (z-a)^{k}}{} die zugehörige Potenzreihe im Entwicklungspunkt $a$. Wir betrachten die Funktionenfolge $f_n$ mit
\maabbeledisp {f_n} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} { \sum_{k = 0}^n c_k (z-a)^{k}
} {.}
Im Allgemeinen konvergiert diese Funktionenreihe weder punktweise auf ganz ${\mathbb C}$ noch gleichmäßig. Wir werden aber sehen, dass häufig auf geeigneten Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleichmäßige Konvergenz vorliegt.
\inputfaktbeweis
{Potenzreihe/Konvergenz in einem Punkt/Absolut gleichmäßige Konvergenz im Radius/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum _{ n= 0}^\infty c_n (z-a)^{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei für eine komplexe Zahl
\mathbed {z=b} {}
{b \neq a} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {konvergent}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für jeden
\definitionsverweis {reellen}{}{}
Radius
\mathbed {r} {mit}
{0< r< \betrag { b-a }} {}
{} {} {} {}
die Potenzreihe
\mathl{f(z)}{} auf der
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
\mathl{B \left( a,r \right)}{}
\definitionsverweis {punktweise}{}{}
\definitionsverweis {absolut}{}{}
und
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir werden
Satz 16.6
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{ B \left( a,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anwenden. Wegen der Konvergenz für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Summanden
\mathl{c_n (b-a)^n}{} nach
Lemma 9.6
eine Nullfolge, d.h. es gibt insbesondere ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n (b-a)^n }
}
{ \leq} { M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher gelten für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ B \left( a,r \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { c_n (z-a)^n }
}
{ =} { \betrag { c_n (b-a)^n } \cdot \betrag { \frac{z-a}{b-a} } ^n
}
{ \leq} { M \cdot \betrag { \frac{z-a}{b-a} }^n
}
{ \leq} { M { \left( \frac{r}{ \betrag { b-a } } \right) }^n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist nach Voraussetzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ r }{ \betrag { b-a } } }
}
{ <} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher liegen rechts
\zusatzklammer {bis auf den Vorfaktor $M$} {} {}
die Summanden einer nach
Satz 9.13
konvergenten
\definitionsverweis {geometrische Reihe}{}{}
vor. Deren Grenzwert liefert eine
\definitionsverweis {obere Schranke}{}{}
für die Reihe der Supremumsnormen.
\inputdefinition
{}
{
Für eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n} { }
heißt
\mathdisp {{\operatorname{sup} \, ( \betrag { b-a } , b\in {\mathbb C} ,\, \sum_{n = 0}^\infty c_n(b-a)^n \text{ konvergiert} ) }} { }
der \definitionswort {Konvergenzradius}{} der Potenzreihe. Das ist eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{} oder $= \infty$.
}
Jede Potenzreihe hat also grundsätzlich das gleiche Konvergenzverhalten: Es gibt eine Kreisscheibe
\zusatzklammer {die eben durch den Konvergenzradius bestimmt ist, wobei die Extremfälle
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erlaubt sind} {} {}
um den Entwicklungspunkt, in deren Innerem die Potenzreihe konvergiert und so, dass sie außerhalb davon in keinem Punkt konvergiert. Nur auf dem Rand der Kreisscheibe kann alles mögliche passieren. Der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nicht sehr interessant. Bei positivem Konvergenzradius
\zusatzklammer {einschließlich dem Fall
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r
}
{ = }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
sagt man auch, dass die Potenzreihe konvergiert.
\inputfaktbeweis
{Potenzreihe/Positiver Konvergenzradius/Stetige Funktion/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n(z-a)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit einem positiven
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
$r$.}
\faktfolgerung {Dann stellt die Potenzreihe
\mathl{f(z)}{} auf der
\definitionsverweis {offenen Kreisscheibe}{}{}
\mathl{U { \left( a,r \right) }}{} eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
dar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ U { \left( a,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt im Innern einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( a,s \right)
}
{ \subseteq }{ U { \left( a,r \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ < }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Auf dieser abgeschlossenen Kreisscheibe ist die Potenzreihe nach
Lemma 16.7
\definitionsverweis {gleichmäßig konvergent}{}{,}
daher ist nach
Lemma 16.4
die Grenzfunktion
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen/Stetig/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
und die trigonometrischen Reihen
\definitionsverweis {Sinus}{}{}
und
\definitionsverweis {Kosinus}{}{}}
\faktfolgerung {besitzen einen unendlichen
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{,}
und die
\definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{,}
die
\definitionsverweis {komplexe Sinusfunktion}{}{}
und die
\definitionsverweis {komplexe Kosinusfunktion}{}{}
sind
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 15.5 und Korollar 16.9.
\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihendarstellung und Exponentdarstellung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Für die
\zusatzklammer {durch die
\definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{} definierte} {} {}
\definitionsverweis {reelle}{}{} Exponentialfunktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \exp x
} {,}
gilt}
\faktfolgerung {
\mathdisp {\exp x = (\exp 1 )^x} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 15.7, aus Korollar 16.10 und aus Aufgabe 14.25.
Die reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \exp 1
}
{ = }{ \sum_{n = 0}^\infty 1/n!
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stimmt mit der als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eingeführten \stichwort {eulerschen Zahl} {} überein, was in
Korollar 20.14
bewiesen wird. Aufgrund dieses Sachverhaltes und der vorstehenden Aussage schreiben wir häufig
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^z
}
{ = }{ \exp z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und zwar auch für komplexe Argumente.
\zwischenueberschrift{Der Identitätssatz für Potenzreihen}
{Komplexe Potenzreihen/Summe/Produkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
mit positiven Konvergenzradien, deren Minimum $r$ sei. Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Potenzreihe
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{ a_n+b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist konvergent auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} und stellt dort die Summenfunktion
\mathl{f+g}{} dar.
} {Die Potenzreihe
\mathl{\sum _{ n= 0}^\infty d_n z^{ n }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_n
}
{ = }{\sum_{i = 0}^n a_ib_{n-i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist konvergent auf
\mathl{U { \left( 0,r \right) }}{} und stellt dort die Produktfunktion
\mathl{fg}{} dar.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.20. }
\inputfaktbeweis
{Komplexe Potenzreihen/Identitätssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
mit positiven
\definitionsverweis {Konvergenzradien}{}{}
und derart,}
\faktvoraussetzung {dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
\maabbdisp {f,g} {U { \left( 0,\epsilon \right) }} {{\mathbb K}
} {}
übereinstimmen.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ = }{b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten die Differenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ = }{ f-g
}
{ = }{ \sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ a_n-b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Deren zugehörige Funktion ist nach Voraussetzung und nach
Lemma 16.12 (1)
auf
\mathl{U { \left( 0,\epsilon \right) }}{} die Nullfunktion. Nach
Aufgabe 16.28
ist daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ = }{ b_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}