Kurs:Analysis 3/10/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6	0	0	0	0	12

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Basis einer Topologie ${}{\mathcal {T}}$ auf ${}X$.
2. Das Bildmaß unter einer messbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   von einem Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ in einen Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$.

3. Die Messbarkeit einer numerischen Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},$

   wobei ${}(M,{\mathcal {A}})$ einen Messraum bezeichnet.

4. Die Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse) zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
5. Die Tangentialabbildung

   $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

   zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

6. Das Wegintegral zu einer ${}1$-Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{1}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Kurve ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow M$.

Lösung

1. Ein System ${}{\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in ${}X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${}{\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${}{\mathcal {C}}$ erhalten kann.
2. Unter dem Bildmaß versteht man das für messbare Teilmengen ${}T\subseteq N$ durch

   ${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

   definierte Maß auf ${}N$.

3. Die numerische Funktion

   $M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

   heißt messbar, wenn sie ${}{\mathcal {A}}-{\overline {\mathcal {B}}}$-messbar ist.

4. Die Rotationsmenge zu ${}T$ ist

   ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$

5. Unter der Tangentialabbildung

   $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

   versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

   ${}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$

6. Das Wegintegral ist durch

   ${}\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$

   definiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Messbarkeitskriterium für eine Abbildung

   $\varphi \colon (M,{\mathcal {A}})\longrightarrow (N,{\mathcal {B}})$

   zwischen

   Messräumen.
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. Es sei ${}{\mathcal {E}}$ ein Erzeugendensystem für ${}{\mathcal {B}}$. Dann ist ${}\varphi$ bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ mit ${}T\in {\mathcal {E}}$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ zu ${}{\mathcal {A}}$ gehört.
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand und sei ${}P\in \partial M$ ein Randpunkt. Zeige, dass für einen Tangentialvektor ${}v\in T_{P}M$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt einen stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [-\epsilon ,0]\rightarrow M$ mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}\gamma '(0)=v$.
2. ${}v$ wird bei jeder Karte mit einem negativen Halbraum unter der Tangentialabbildung auf den rechten Halbraum abgebildet.

Lösung

Es sei ${}\gamma$ ein Halbweg in ${}M$ wie angegeben und sei ${}P\in U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit einer Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq H_{\leq 0}$

mit

${}H_{\leq 0}={\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}\leq 0\right\}}\,$

und mit

${}Q=\alpha (P)=\left(0,\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\,.$

Unter der Tangentialabbildung wird ${}v=\gamma '(0)$ auf den Ableitungsvektor von ${}\delta =\alpha \circ \gamma$ im Nullpunkt abgebildet. Da ${}\gamma$ in ${}M$ verläuft, verläuft ${}\delta$ ganz in ${}H_{\leq 0}$. Daher ist im Differenzenquotient

${\frac {\left(\delta _{1}(t),\,\delta _{2}(t),\,\ldots ,\,\delta _{n}(t)\right)}{t}}$

sowohl ${}t$ negativ als auch ${}\delta _{1}(t)$ negativ und daher ist

${}\delta _{1}'(0)\geq 0\,,$

gehört also zur positiven Hälfte.

Es gehöre umgekehrt ${}T_{P}(\alpha )(v)$ zur positiven Hälfte. Dann verläuft die Gerade

$\delta \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto Q+tv$

für ${}t\leq 0$ ganz in der negativen Hälfte. Der Weg ${}\alpha ^{-1}\circ \delta$ ist auf einem negativen Intervall definiert und landet in ${}M$ und ist eine Halbwegrealisierung von ${}v$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung