Kurs:Analysis 3/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	${}\sum$
Punkte	3	3	9	9	8	6	3	11	5	5	3	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Produkt-Präring auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ der Präringe ${}(M_{1},{\mathcal {P}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {P}}_{n})$.
2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
3. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
4. Ein regulärer Punkt ${}Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

5. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren ${}k$- Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung des Produkt-Präringes.
2. Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
3. Der Satz über die Partition der Eins.

Aufgabe * (9 (2+4+3) Punkte)

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen ${}30$ und ${}20$ cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von ${}0{,}5$ cm herausgestanzt werden.

a) Zeige, dass man höchstens ${}3057$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

b) Zeige, dass man mindestens ${}2607$ Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?

Aufgabe * (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\,y\geq 0\right\}}\,$

der obere Einheitshalbkreis und

$p\colon M\longrightarrow [-1,1],\,(x,y)\longmapsto x,$

die Projektion auf die ${}x$-Achse. Zu ${}n\in \mathbb {N}$ seien ${}n+1$ Punkte auf ${}M$ gleichverteilt in dem Sinne, dass ${}(1,0)$ und ${}(-1,0)$ dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für ${}n=7$ einschließlich der Bildpunkte unter ${}p$.

b) Es sei ${}\mu _{n}$ das Zählmaß auf ${}M$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert ${}1$ erhält und es sei

${}\nu _{n}=p_{*}\mu _{n}\,$

das zugehörige Bildmaß auf ${}[-1,1]$. Man gebe eine Formel für

$\nu _{n}([t,1])$

(${}t\in [-1,1]$) mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme

$\lim _{n\rightarrow \infty }\nu _{n}([1-{\frac {2}{n}},1]).$

Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, das für den Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}Z$ der Zylinder um die ${}x$-Achse und ${}W$ der Zylinder um die ${}z$-Achse, beide zum Radius ${}1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts ${}Z\cap W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${}X\times X$ ist.

Aufgabe * (11 (1+3+1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Menge

${}N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$

der reellen nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen sowie die Menge

${}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.$

a) Ist ${}N$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ ist.

c) Bestimme die Dimension von ${}M$.

d) Ist ${}M$ zusammenhängend?

e) Überdecke ${}M$ mit expliziten topologischen Karten.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt ${}P$ mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die ${}1$- Differentialform

${}\omega =-vdu+udv\,$

auf der ${}1$- Sphäre ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$, wobei die Koordinaten des umgebenden ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}u$ und ${}v$ bezeichnet seien. Bestimme ${}\pi ^{*}\omega$ unter der stetig differenzierbaren Abbildung

$\pi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y).$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine exakte Differentialform auf ${}M$. Es sei ${}S$ eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Basis der Topologie und es sei

$\varphi \colon S\longrightarrow M$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige

${}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =0\,.$