Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 24

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ ein ${}R$- Modul. Es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln. Zeige, dass

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,L\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,N\right)}$

exakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ ein ${}R$- Modul. Es sei ${}M\rightarrow N$ ein surjektiver ${}R$- Modulhomomorphismus. Zeige, dass die induzierte Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left(A,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(A,N\right)}$

nicht surjektiv sein muss.

Man denke an ${}A=N=\mathbb {Z} /(k)$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}P$ ein projektiver ${}R$- Modul und ${}M$ ein weiterer ${}R$-Modul. Zeige ${}\operatorname {Ext} ^{n}(P,M)=0$ für ${}n\geq 1$.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der kurzen exakten Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {\cdot k}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(k)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

dass ${}\operatorname {Ext} ^{1}(\mathbb {Z} /(k),\mathbb {Z} )$ zu

${}k\geq 2$ nicht der Nullmodul ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${}{\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ein kovarianter additiver linksexakter Funktor und es bezeichne ${}R^{n}F$ die rechtsabgeleiteten Funktoren. Zeige, dass zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&C&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&A'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&B'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&C'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

das Diagramm

${\begin{matrix}R^{n}F(C)&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A)&\\\downarrow &&\downarrow &\\R^{n}F(C')&{\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}&R^{n+1}F(A')&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.