Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 23

Aufgabe

Es sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe einer kommutativen Gruppe ${}G$ und sei ${}\varphi \colon H\rightarrow \mathbb {Z}$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass es einen Gruppenhomomorphismus ${}G\rightarrow \mathbb {Q}$ gibt, der ${}\varphi$ (als Abbildung nach ${}\mathbb {Q}$) fortsetzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppe ${}(\mathbb {Q} _{+},\cdot )$ nicht divisibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen ${}(\mathbb {R} ,+)$ und ${}(\mathbb {R} _{+},\cdot )$ divisibel sind. Ist auch ${}(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )$ divisibel?

Aufgabe

Zeige, dass die Gruppen ${}\mathbb {Z} /(n)$ mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ nicht injektiv sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe ${}K^{\times }$ divisibel ist.

Aufgabe

Beschreibe für die zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ eine divisible Gruppe ${}D$ mit ${}\mathbb {Z} /(n)\subseteq D$

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine divisible Gruppe und ${}S$ eine Menge. Zeige, dass die Gruppe ${}\operatorname {Abb} \,{\left(S,D\right)}$ ebenfalls divisibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine divisible Gruppe und ${}S$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass die Gruppe ${}\operatorname {Hom} {\left(S,D\right)}$ ebenfalls divisibel ist.

Aufgabe

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen injektiven und projektiven Moduln über einem kommutativen Ring ${}R$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen injektiven ${}R$- Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ derart, dass ${}M$ als kommutative Gruppe nicht divisibel ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen nicht injektiven ${}R$- Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ derart, dass ${}M$ als kommutative Gruppe divisibel ist.

Tipp: Betrachte ${}R=M=\mathbb {Q} [X]$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein injektiver ${}R$- Modul über einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}r\in R$ ein Nichtnullteiler. Zeige, dass die Multiplikation ${}\mu _{r}\colon I\longrightarrow I$, ${}v\longmapsto rv$, surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass jede kommutative Gruppe ${}G$ eine injektive Auflösung der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I_{0}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I_{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {I}}_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von injektiven Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass auch das direkte Produkt ${}\prod _{j\in J}{\mathcal {I}}_{j}$ injektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Garbe der reellwertigen stetigen Funktionen auf ${}\mathbb {R}$ nicht welk ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf einem diskreten topologischen Raum ${}X$ jede Garbe welk ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine lokal konstante Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem irreduziblen topologischen Raum welk ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine lokal konstante Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum nicht welk sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass die Garbe ${}U\mapsto \operatorname {Abb} \,{\left(U,G\right)}$ auf ${}X$ welk ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von welken Garben auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass auch das direkte Produkt ${}\prod _{j\in J}{\mathcal {G}}_{j}$ welk ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer Zerlegung ${}X=Y\uplus Z$ in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}Y$ und ${}{\mathcal {H}}$ eine Garbe auf ${}Z$. Zeige, dass die durch

${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\cap Y\right)}\times {\mathcal {H}}{\left(U\cap Z\right)}\,$

genau dann welk ist, wenn ${}{\mathcal {G}}$ und ${}{\mathcal {H}}$ welk sind.