Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 23
- Injektive Moduln
Es sei ein kommutativer Ring. Ein - Modul heißt injektiv, wenn es für jeden -Modul , jeden Untermodul und jeden - Modul-Homomorphismus eine Fortsetzung
gibt.
Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für wird die Sache schon komplizierter.
Eine kommutative Gruppe heißt divisibel, wenn es zu jedem und jedem ein mit gibt.
Die Gruppe selbst ist nicht divisibel, dagegen ist als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem die Multiplikationsabbidung
surjektiv ist (man kann durch dividieren, daher der Name divisibel).
Zu einer divisiblen Gruppe
ist auch jede Restklassengruppe divisibel.
Sei . Für jedes gibt es mit . Dann gilt auch in .
Zu jeder kommutativen Gruppe
gibt es eine divisible Gruppe mit .
Wir schreiben mit einer geeigneten Indexmenge , die ein Erzeugendensystem von indiziere. Die freie Gruppe kann man in die divisible Gruppe einbetten. Daher gibt es eine Einbettung
und letztere ist nach Lemma 23.3 divisibel.
Ohne Beweis erwähnen wir das folgende Resultat.
Eine kommutative Gruppe
Es sei ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring .
Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz
von - Moduln.
Zur Identität gibt es eine Fortsetzung . Diese vermittelt die Spaltung.
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und ein injektiver - Modul.
Dann ist auch der -Modul injektiv.
Es seien -Moduln und
ein - Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass gilt. Wir betrachten und als -Moduln und wir betrachten den -Modulhomomorphismus
Aufgrund der Injektivität von als -Modul gibt es eine -lineare Fortsetzung dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung
ein -Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung
zu gehört. Die Gesamtzuordnung ist -linear aufgrund der -Modulstruktur von . Für gilt , sodass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.
- Injektive Auflösungen
Zu einem - Modul über einem kommutativen Ring
gibt es einen injektiven Modul mit .
Für die kommutative Gruppe gibt es nach Lemma 23.4 eine divisible Gruppe und eine Einbettung . Nach Lemma 23.5 ist ein injektiver - Modul. Nach Lemma 23.7 ist dann auch der -Modul injektiv. Es liegt ein kommutatives Diagramm
vor, wobei die vertikalen Abbildungen durch gegeben sind. Alle Abbildungen sind injektiv. Die linke vertikale Abbildung und die untere horizontale Abbildung sind -Modulhomomorphismen, daher liegt insgesamt ein - Untermodul vor.
Eine injektive Auflösung eines - Moduls über einem kommutativen Ring ist ein exakter Komplex
von -Moduln, wobei die , , injektive Moduln sind.
Ein - Modul über einem kommutativen Ring
besitzt eine injektive Auflösung.
Nach Korollar 23.8 gibt es einen injektiven Modul mit . Für den Restklassenmodul gibt es entsprechend einen injektiven Modul mit , u.s.w.
Es seien und - Moduln über einem kommutativen Ring . Es sei
ein exakter Komplex,
eine injektive Auflösung und
ein - Modulhomomorphismus.
Dann gibt es -Modulhomomorphismen
die mit den Homomorphismen in den Komplexen kommutieren.
Die Existenz der kommutierenden Homomorphismen wird durch Induktion über bewiesen. Zum Homomorphismus gibt es wegen und der Injektivität von einen kommutierenden Homomorphismus
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Existenz der Homomorphismen bis bereits bewiesen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
wobei der rechte vertikale Pfeil zu konstruieren ist. Es liegt eine Injektion
vor, und wegen der Kommutativität wird insgesamt auf nach hinein abgebildet. Daher liegt ein Homomorphismus
vor und dieser besitzt eine Fortsetzung nach .
Im Allgemeinen gibt es in der vorstehenden Situation mehrere Homomomorphismen von Kettenkomplexen. Allerdings sind sie zueinander homotop.
Es sei ein - Modul über einem kommutativen Ring . Es sei
ein exakter Komplex und es sei
ein Komplex, wobei die Moduln injektiv seien. Es seien
Homomorphismen von Kettenkomplexen.
Dann sind und homotop.
Wir definieren induktiv die Homotopien
und legen
als die Nullabbildung fest ( ist aber im Allgemeinen nicht injektiv). Nehmen wir nun an, dass die Homotopien bis einschließlich schon konstruiert seien. Es liegt ein kommutatives Diagramm
vor, und es gilt
Wir betrachten den Homomorphismus von nach . Für gilt dabei
da ja die als auch die mit den Ableitungen kommutieren. Dies bedeutet, dass das Bild von auf abbildet. Wir haben also einen induzierten Homomorphismus
Da der Komplex exakt ist, liegt eine injektive Abbildung
vor, und da injektiv ist, ergibt sich eine Fortsetzung
Dabei gilt
- Injektive und welke Garben
Ein injektiver Modul ist nach Definition durch die Existenz von Homomorphismen in gewissen Situationen gekennzeichnet. Insofern gibt es das entsprechende Konzept (injektives Objekt) in jeder Kategorie, in der man von injektiven Homomorphismen sprechen kann. Der übliche Rahmen sind hier die additiven bzw. die abelschen Kategorien, siehe die Anhänge. Die Kategorie der Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum (und die Kategorie der Garben von Moduln auf einem beringten Raum) bildet eine solche abelsche Kategorie, das haben wir im Wesentlichen in den Vorlesungen 5 und 6 bewiesen. Wir zeigen nun, dass man auch in dieser Situation Garben in injektive Garben einbetten kann.
Es sei ein beringter Raum und es sei ein - Modul.
Dann gibt es eine injektive Modulgarbe auf mit .
Für jede Modulgarbe ist
ein injektiver - Modulhomomorphismus, wobei (für ) den Vorschub des -Moduls (aufgefasst als Garbe auf ) unter der Einbettung bezeichnet. Nach Korollar 23.8 gibt es zu einen injektiven -Modul auf . Wir setzen . Somit erhalten wir Inklusionen
von -Moduln. Wir müssen zeigen, dass injektiv ist. Es seien dazu -Moduln und ein -Modulhomomorphismus
gegeben. Dies entspricht nach Aufgabe 3.18 und wegen Lemma Anhang 4.3 einem Element . Zu jedem gibt es eine Fortsetzung und diese setzen sich zu einer Fortsetzung
zusammen.
Injektive Garben stehen in einem engen Verhältnis zu welken Garben. Diese sind häufig rechnerisch zugänglicher.
Eine Garbe auf einem topologischen Raum heißt welk, wenn für offene Teilmengen die Einschränkungsabbildungen
surjektiv sind.
Im Fall einer welken Garbe sind dann für beliebige offene Teilmengen die Einschränkungsabbildungen surjektiv.
Es sei ein topologischer Raum und es sei
eine kurze exakte Sequenz von Garben von abelschen Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Wenn eine welke Garbe ist, so ist die globale Auswertung surjektiv.
- Wenn und welk sind, so ist auch welk.
- Sei
vorgegeben. Wir verwenden das Lemma von Zorn und betrachten die Menge
Wir führen auf durch , falls und eine Fortsetzung von ist, eine Ordnung ein. Diese Menge ist aufgrund der Garbeneigenschaft induktiv geordnet. Nach dem Lemma von Zorn gibt es somit ein maximales Element in . Es ist zu zeigen, dass ist. Es sei also angenommen und sei . Wegen der Garbensurjektivität gibt es eine offene Umgebung und einen Schnitt , der auf (die Restriktion auf ) abbildet. Daher bildet auf ab und gehört somit zu . Wegen der Welkheit von gibt es einen Schnitt
der auf einschränkt. Wir ersetzen durch
Dieses Element wird nach wie vor nach abgebildet und es ist
Somit sind und als Schnitte von über bzw. verträglich und legen einen Schnitt fest, der nach abbildet. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von .
- Folgt aus (1).
Es sei ein beringter Raum und ein injektiver - Modul.
Dann ist welk.
Es sei eine offene Teilmenge. Wir betrachten die Prägarbe
und nennen die Vergarbung davon . Der natürliche Prägarbenhomomorphismus führt nach Lemma 5.2 (4) zu einem Garbenhomomorphismus
Dieser ist injektiv. Es ist
Da injektiv ist, lässt sich jedes Element daraus zu einem Element aus
fortsetzen. Dies bedeutet, dass die Restriktionsabbildung surjektiv ist.
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