Kurs:Differentialgeometrie/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	6	5	5	2	5	5	7	3	2	5	9	5	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Krümmungskreis zu einer zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve Es sei

   $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   in einem Punkt ${}t_{0}\in I$.

2. Eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq N$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}N$.
3. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Der Rand einer Mannigfaltigkeit mit Rand.
6. Die Christoffelsymbole ${}\Gamma _{ij}^{k}$ für den Levi-Civita-Zusammenhang zu einer riemannschen Struktur ${}{\left(g_{ij}\right)}$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Bild der Gauß-Abbildung eine Hyperfläche.
2. Die Formel für den Flächeninhalt einer Rotationsfläche zu einer differenzierbaren Kurve

   $\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

   mit

   ${}y(t)>0$.
3. Die Produktregel für die äußere Ableitung.

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

Es sei ${}Y$ die Hyperfläche, die durch die Bedingung

${}2x^{2}+3y^{2}+5z^{2}=10\,$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben ist. Es sei ${}P={\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}}\in Y$ und ${}w={\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$.

1. Bestimme den Tangentialraum ${}T_{P}Y$.
2. Bestimme die orthogonale Zerlegung ${}w$ in die tangentiale und in die orthogonale Komponente zum Punkt ${}P$.
3. Realisiere die tangentiale Komponente von ${}w$ in ${}T_{P}Y$ durch eine differenzierbare Kurve, die ganz auf ${}Y$ verläuft.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos \left(\omega t\right)\\\sin \left(\omega t\right)\end{pmatrix}},$

mit einem ${}\omega >0$. Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit ${}\gamma$ für ${}t=0$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Krümmung auf einer implizit gegebenen ebenen Kurve.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für differenzierbare Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$ mit ${}\operatorname {dim} _{}^{}{\left(M\right)},\,\operatorname {dim} _{}^{}{\left(N\right)}\geq 1$ und differenzierbare Abbildungen ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ und ${}\psi \colon N\rightarrow M$ derart, dass ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{M}$ und ${}\varphi \circ \psi \neq \operatorname {Id} _{N}$ gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt ${}P$ mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Tangentialabbildung ${}T(\varphi )$ zu

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{1}\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),$

surjektiv ist.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

$\gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),$

(mit $c\geq 1$) und

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),$

und die Differentialform

${}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ auf dem ${}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zum Weg ${}\gamma$ in Abhängigkeit von ${}c$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$\psi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf ${}M$ und ${}\omega$ eine ${}k$- Form auf ${}M$. Zeige

${}\psi ^{*}(f\omega )=\psi ^{*}(f)\psi ^{*}\omega \,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe möglichst viele zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Wir fassen den Subgraphen als eine Mannigfaltigkeit mit Rand auf, wobei der Rand aus dem Graphen, dem Grundintervall und den beiden Seitenkanten, aber ohne die vier Eckpunkte besteht. Bestätige den Satz von Stokes direkt für die Differentialform ${}\omega =xdy$.

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Brouwerschen Fixpunktsatz.

Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Zylinder ${}Z=S^{1}\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ mit dem trivialen Zusammenhang auf seinem Tangentialbündel.

1. Bestimme in einer geeigneten isometrischen Karte die geodätische Differentialgleichung für diejenige geodätische Kurve ${}\psi$ auf ${}M$, die

   ${}\psi (0)=(1,0,3)\,$

   und

   ${}\psi '(0)=(0,1,-4)\,$

   erfüllt.

2. Löse die Differentialgleichung aus (1) in der Karte.
3. Finde eine geodätische Kurve in ${}Z$, die die Bedingungen aus (1) erfüllt.