Kurs:Differentialgeometrie/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	7	4	0	0	0	5	15	5	0	3	3	0	10	4	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bogenparametrisierte Kurve

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

2. Zwei in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ tangential äquivalente differenzierbare Kurven

   $\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

   (dabei sei ${}0\in I$ ein offenes reelles Intervall und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$).

3. Ein stetiger Schnitt zu einer stetigen Abbildung

   $p\colon Y\longrightarrow X$

   zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$.

4. Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren ${}k$- Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Die Schnittkrümmung zu linear unabhängigen Vektoren ${}v,w\in T_{P}M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ in einem Punkt ${}P\in M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Orientierungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Die Formel für die Lie-Klammer von Vektorfeldern auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
3. Der Satz über Retraktionen zum Rand auf Mannigfaltigkeiten.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}h\colon I\rightarrow V$ eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass bei ${}h'(t)\neq 0$ die Gleichheit

${}\Vert {h'(t)}\Vert '={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert \,$

gilt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt ${}P$ mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.

Aufgabe * (15 (3+3+4+5) Punkte)

Es sei ${}T=S^{1}\times S^{1}$ der Torus und ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitssphäre.

a) Zeige, dass durch

$\varphi \colon S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},\,{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}\cos \beta \\\cos \alpha +\sin \beta \cos \alpha \\1+\sin \alpha -\sin \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{pmatrix}}$

eine stetige Abbildung gegeben ist.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

c) Beschreibe die Fasern von ${}\varphi$.

d) Erläutere die Abbildung ${}\varphi$ unter Verwendung einer Skizze.

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zu

$\gamma \colon [-1,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (-t^{2},t^{3}-1,t+2),$

für die ${}1$-Differentialform

${}\omega =x^{3}dx-yzdy+xz^{2}dz\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

die durch

${}f(t)={\frac {\sin ^{3}(t^{4})}{1+t^{2}}}\,$

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von ${}f$.

b) Berechne die äußere Ableitung von ${}fdt$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow H$

einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von ${}H$ in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise die Quaderversion des Satzes von Stokes.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme für die Kurve

$\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {H} },\,t\longmapsto \left(t,\,e^{t}\right),$

in die Halbebene von Poincaré ${}{\mathbb {H} }$ die Christoffelsymbole für den zurückgezogenen Zusammenhang (zum Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}{\mathbb {H} }$) auf ${}\mathbb {R}$.