Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 16

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f,a_{i},b_{j}\in R$. Zeige die folgenden Gleichungen:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}=\sum _{k=0}^{\max(n,m)}(a_{k}+b_{k})f^{k}$

und

${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}f^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$

Aufgabe

Berechne das Produkt

$(2X^{3}+3X^{2}-4X+5)\cdot (X^{4}-X^{2}+3X-2)$

im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$.

Aufgabe

Man begründe, dass Korollar 14.4 auch unter der schwächeren Bedingung gilt, dass die Elemente aus dem kommutativen Ring ${}R$ mit dem Element ${}a\in A$ vertauschbar sind, d.h. dass für alle ${}r\in R$ gilt ${}\varphi (r)\cdot a=a\cdot \varphi (r)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{3}+4X-3$ unter dem durch ${}X\mapsto X^{2}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$

Aufgabe *

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{4}-2X^{2}+5X-2$ unter dem durch ${}X\mapsto 2X^{3}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von ${}K[X]$ nach ${}K[X]$ injektiv ist und dass der durch ${}P$ erzeugte Unterring ${}K[P]\subseteq K[X]$ isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Zeige, dass bei ${}\operatorname {grad} \,(P)\geq 2$ ein echter Unterring ${}K[P]\subset K[X]$ vorliegt.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=5X^{4}+3X^{3}+5X^{2}+3X+6$ und ${}T=3X^{2}+6X+4$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=(5+{\mathrm {i} })X^{4}+{\mathrm {i} }X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-1$ und ${}T=X^{2}+{\mathrm {i} }X+3-{\mathrm {i} }$ durch.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}r\in R$ ein nilpotentes Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in ${}R[X]$, das eine Einheit ist. Man gebe auch das Inverse dazu an.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche konstante und lineare Einheiten im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(9)[X]$. Begründe, dass es sich um eine Untergruppe der Einheitengruppe handelt. Welche Struktur hat diese Gruppe?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Betrachte den Matrizenring ${}\operatorname {Mat} _{3}(K)$ und darin die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&4&5\\2&4&6\\1&4&7\end{pmatrix}}\,.$

Definiere einen Ringhomomorphismus

$K[X]\longrightarrow \operatorname {Mat} _{3}(K),$

der ${}X$ auf ${}M$ schickt. Bestimme den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}A=\operatorname {Abb} \,{\left(K,K\right)}$ der Ring der Abbildungen von ${}K$ nach ${}K$. Definiere einen Ringhomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A.$