Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Das Signum einer Permutation}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Dann heißt die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ \pi( j ) - \pi( i )}{ j - i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {Signum}{}
\zusatzklammer {oder das \definitionswort {Vorzeichen}{}} {} {}
der Permutation $\pi$.
}
Das Signum ist
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {,}
da im Zähler und im Nenner die positive oder die negative Differenz
\mathl{\pm ( i-j)}{} steht. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei
\mathl{\operatorname{sgn}(\sigma)=1}{} spricht man von einer
\definitionswortenp{geraden Permutation}{} und bei
\mathl{\operatorname{sgn}(\sigma)=-1}{} von einer
\definitionswortenp{ungeraden Permutation}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Dann heißt ein Indexpaar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ <} {j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein \definitionswort {Fehlstand}{} von $\pi$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi (i)
}
{ > }{ \pi (j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ { \# \left( F \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
von $\pi$.}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
von $\pi$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { (-1)^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ \pi( j ) - \pi( i )}{ j - i }
}
{ =} { \prod_{(i,j) \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i } \prod_{(i,j) \not \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i }
}
{ =} { (-1)^k \prod_{(i,j) \in F} \frac{ \pi (i) - \pi (j) }{ j-i } \prod_{(i,j) \not \in F} \frac{ \pi (j) - \pi (i) }{ j-i }
}
{ =} { (-1)^k
}
}
{}
{}{,}
da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Permutation
\wertetabellesechsausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{ {6
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {4} {6} {5} {3} }
{ {1} }
mit der Zyklendarstellung
\mathdisp {\langle 1 , 2, 4, 5, 3, 6 \rangle} { . }
Die Fehlstände sind
\mathdisp {(1,6), \, (2,5), \, (2,6),\, (3,4),\, (3,5),\, (3,6),\, (4,5),\, (4,6),\, (5,6)} { , }
es gibt also $9$ Stück davon. Das Signum ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1)^9
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Fakt *****,
und die Permutation ist ungerade.
}
\inputfaktbeweis
{Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die durch das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
gegebene Zuordnung
\maabbeledisp {} {S_n} {\{1,-1\}
} {\pi} {\operatorname{sgn}(\pi)
} {,}
ist ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist das Signum wirklich gleich
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {.}
Dies beruht darauf, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner der
\definitionsverweis {Definition des Signums}{}{}
zu jedem Indexpaar
\mathl{i \leq j}{} die positive oder die negative Differenz
\mathl{\pm ( i-j)}{} vorkommt.
Seien zwei Permutationen
\mathkor {} {\sigma} {und} {\tau} {}
gegeben. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{sgn}( \sigma \circ \tau )
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ ( \sigma \circ \tau) ( j ) - ( \sigma \circ \tau) ( i )}{ j - i }
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j } \frac{ ( \sigma \circ \tau )(j)
- ( \sigma \circ \tau )(i) }{ \tau (j)- \tau (i) } \right) } \prod_{ i < j } \frac{ \tau( j ) - \tau( i )}{ j - i }
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \tau(i) < \tau(j) } \frac{ \sigma ( \tau (j)) - \sigma ( \tau (i)) }{ \tau (j)- \tau (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \tau (i) > \tau(j) } \frac{ \sigma( \tau (j)) - \sigma ( \tau (i)) }{ \tau (j)- \tau (i) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\tau )
}
{ =} { { \left( \prod_{ i<j, \, \tau(i) < \tau(j)} \frac{ \sigma ( \tau (j)) - \sigma ( \tau (i)) }{ \tau (j)- \tau (i) } \right) } { \left( \prod_{ i<j, \, \tau (i) > \tau (j) } \frac{ \sigma ( \tau (i)) - \sigma ( \tau (j)) }{ \tau (i)- \tau (j) } \right) } \, \operatorname{sgn}(\tau)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \prod_{ k < \ell } \frac{ \sigma( \ell ) - \sigma( k )}{ \ell - k } \operatorname{sgn}(\tau )
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\sigma) \operatorname{sgn}(\tau)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ =} { \tau_1 \cdots \tau_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Produkt von $r$
\definitionsverweis {Transpositionen}{}{}
geschrieben.}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} {(-1)^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Transposition $\tau$ vertausche die beiden Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{sgn}(\tau)
}
{ =} { \prod_{ i < j } \frac{ \tau( j ) - \tau( i )}{ j - i }
}
{ =} { \prod_{i<j,\, i,j \neq k, \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i=k , j \neq \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i \neq k , j= \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i=k , j = \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
}
{ =} { \prod_{ j > k,\, j \neq \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ i \neq k ,\, i < \ell } \frac{ k -i }{ \ell -i } \cdot { \frac{ k - \ell }{ \ell - k } }
}
{ =} { \prod_{j > \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ i < k } \frac{ k -i }{ \ell -i }
\cdot \prod_{ k <j < \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ k < i < \ell } \frac{ k -i }{ \ell -i } \cdot (-1)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, sodass sich diese
\zusatzklammer {wegen der gleichen Indexmenge} {} {}
Minuszeichen wegkürzen.
Die Aussage folgt dann aus der Homomorphieeigenschaft.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei $I$ eine beliebige Menge mit $n$ Elementen, die nicht geordnet sein muss, und sei $\pi$ eine Permutation auf $I$. Dann kann man nicht von
\definitionsverweis {Fehlständen}{}{}
sprechen und die
\definitionsverweis {Definition des Signums}{}{}
ist nicht direkt anwendbar. Man kann sich jedoch an
Lemma 9.12
orientieren, um das Signum auch in dieser leicht allgemeineren Situation zu erklären. Dazu schreibt man $\pi$ als Produkt von $r$ Transpositionen und definiert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} { \begin{cases} 1 \, ,\text{ falls } r \text{ gerade ist} \, , \\ -1 \, , \text{ falls } r \text{ ungerade ist}\, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Um einzusehen, dass dies wohldefiniert ist, betrachtet man eine Bijektion
\maabbdisp {\varphi} {I} { { \{ 1 , \ldots , n \} }
} {.}
Die Permutation $\pi$ auf $I$ definiert auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} die Permutation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi'
}
{ = }{\varphi \pi \varphi^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi
}
{ = }{ \tau_1 \cdots \tau_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Darstellung als Produkt von $r$ Transpositionen auf $I$. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi'
}
{ =} { \varphi \pi \varphi^{-1}
}
{ =} { \varphi \tau_1 \cdots \tau_r \varphi^{-1}
}
{ =} { \varphi \tau_1 \varphi^{-1} \varphi \tau_2 \varphi^{-1} \varphi \cdots \varphi^{-1} \varphi \tau_r \varphi^{-1}
}
{ =} { \tau_1' \tau_2' \cdots \tau_r'
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau_j'
}
{ = }{ \varphi \tau_j \varphi^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies sind ebenfalls Transpositionen, sodass die Parität von $r$ durch das Signum von $\pi'$ festgelegt ist.
}
\zwischenueberschrift{Die alternierende Gruppe}
Für $n \geq 2$ ist die Signumsabbildung
\maabb {\operatorname{sgn}} {S_n} {\{1,-1\}
} {}
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, da ja Transpositionen auf $-1$ abgebildet werden. Der Kern dieses Homomorphismus besteht aus allen geraden Permutationen und ist ein Normalteiler in der Permutationsgruppe $S_n$. Diese Untergruppe bekommt einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_n
}
{ \defeq} {{ \left\{ \sigma \in S_n \mid \operatorname{sgn}(\sigma) = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {geraden Permutationen}{}{}
die \definitionswort {alternierende Gruppe}{.}
}
Die alternierende Gruppe besitzt ($n \geq 2$) den Index zwei, die beiden Nebenklassen sind die geraden Permutationen und die ungeraden Permutationen.
Für $n=1,2$ ist die alternierende Gruppe die triviale Gruppe. Für
\mathl{n=3}{} ist $A_3 = \Z/(3)$. Die Gruppe $A_4$ ist isomorph zur Tetraedergruppe.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{}
$A_4$. Die vier Permutationen
\zusatzklammer {in
\definitionsverweis {Zykeldarstellung}{}{}} {} {}
\mathdisp {\operatorname{id} , \, \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle , \, \langle 1,3\rangle \langle 2,4\rangle, \, \langle 1,4\rangle \langle 2,3\rangle} { }
bilden darin eine kommutative Untergruppe $V$, in der jedes Element $\neq \operatorname{id} \,$ die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$2$ besitzt. Sie ist
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zur
\definitionsverweis {Kleinschen Vierergruppe}{}{.}
Es handelt sich sogar um einen
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
vom
\definitionsverweis {Index}{}{}
drei. Um dies einzusehen verwenden wir
Lemma 7.8
und betrachten exemplarisch
\mathl{\sigma= \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle}{} und
\mathl{\tau = \langle 1,2,3 \rangle}{} mit dem Inversen
\mathl{\tau^{-1}= \langle 1,3,2 \rangle}{.} Wir erhalten
\mathdisp {\langle 1,2,3 \rangle \langle 1,2\rangle \langle 3,4\rangle \langle 1,3,2 \rangle = \langle 1,4 \rangle \langle 2,3 \rangle} { , }
was wieder zu $V$ gehört. Die Restklassengruppe
\mathl{A_4/V}{} muss isomorph zu
\mathl{\Z/(3)}{} sein, die beiden anderen
\zusatzklammer {neben $V$} {} {}
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
sind einerseits die Dreierzykel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { \langle 2,3,4 \rangle, \, \langle 1,4,3 \rangle, \, \langle 1,2,4 \rangle, \, \langle 1,3,2 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits die dazu inversen Dreierzykel
\mathdisp {\langle 2,4,3 \rangle, \, \langle 1,3,4 \rangle, \, \langle 1,4,2 \rangle, \, \langle 1,2,3 \rangle} { . }
Wenn man einen Tetraeder mit nummerierten Ecken anschaut, so entsprechen diese beiden Nebenklassen den Dritteldrehungen im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn um die Seiteneckachsen, wobei die Drehrichtung dadurch festgelegt ist, dass man auf den Eckpunkt schaut
\zusatzklammer {welche Orientierung zu welcher Nebenklasse gehört, hängt dabei von der Nummerierung der Ecken ab} {} {.}
}
Die Gruppe $A_4$ besitzt also einen nicht-trivialen Normalteiler. Sie ist damit unter den alternierenden Gruppen eine Ausnahme. Es gilt nämlich, und das werden wir hier nicht beweisen, dass die alternierenden Gruppen
\mathbed {A_n} {}
{n \geq 5} {}
{} {} {} {} einfach sind im Sinne der folgenden Definition.
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} heißt \definitionswort {einfach}{,} wenn sie genau zwei \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} enthält \zusatzklammer {nämlich sich selbst und die triviale Gruppe} {} {.}
}
Für eine Primzahl $p$ sind die zyklischen Gruppen
\mathl{\Z/(p)}{} der Ordnung $p$ einfach, da es in diesen Gruppen aufgrund des Satzes von Lagrange überhaupt nur die triviale und die ganze Gruppe als Untergruppe gibt. In einer nicht kommutativen einfachen Gruppe gibt es im Allgemeinen sehr viele Untergruppen, aber eben keine nicht-trivialen Normalteiler. Die einfachen Gruppen sind in gewissem Sinne die einfachsten Bausteine für alle endlichen Gruppen. Die nicht einfachen Gruppen sind in einem gewissen Sinn \anfuehrung{zusammengesetzt}{,} da es dort dann einen echten Normalteiler
\mathbed {N \subset G} {}
{N \neq 0, \neq G} {}
{} {} {} {} gibt und damit auch eine Restklassengruppe
\mathl{G/N=Q}{.} Die Gruppe $G$ ist dann aus den kleineren Gruppen $N$ und $Q$ irgendwie \anfuehrung{zusammengebastelt}{,} wobei allerdings
\mathkor {} {N} {und} {Q} {}
nicht die Struktur von $G$ festlegen. Die Klassifikation aller einfachen endlichen Gruppen war ein schwieriges Problem der Gruppentheorie und ist inzwischen
\zusatzklammer {seit ca. $1980$} {} {}
gelöst.
\zwischenueberschrift{Die Determinante}
Wir erinnern noch kurz an die Determinante, die aus der Anfängervorlesung bekannt ist. Mittels Permutationen und deren Signa kann man eine geschlossene Definition für die Determinante geben. Zur Berechnung sind aber rekursive Verfahren sinnvoller.
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{1 1 } & \ldots & a_{1 n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \sum_{ \sigma \in S_{ n } } \operatorname{sgn}(\sigma ) a_{1 \sigma (1)} \cdots a_{ n \sigma( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Determinante}{} von $M$.
}
\zwischenueberschrift{Der Satz von Cayley}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arthur Cayley.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Arthur Cayley (1821-1895)} }
\bildlizenz { Arthur Cayley.jpg } {} {Zuirdj} {Commons} {PD} {http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Cayley.html}
Zu einer Gruppe $G$ und einem Element
\mathl{g \in G}{} nennt man die Abbildung
\maabbeledisp {L_g} {G} {G
} {x} {gx
} {}
die
\definitionswortenp{Linksmultiplikation}{} mit $g$. Das ist in aller Regel
\betonung{kein}{} Gruppenhomomorphismus, allerdings ist es eine bijektive Abbildung der Menge $G$ in sich. Dieser Zusammenhang wird nun kurz thematisiert.
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Cayley/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und $\operatorname{Perm} \,( G)$ die Gruppe der Bijektionen auf $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung, die einem Gruppenelement die
\definitionsverweis {Linksmultiplikation}{}{} zuordnet, also
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( G) } {g} {L_g} {,}
ein injektiver
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Linksmultiplikation ist eine Bijektion auf $G$, da aus
\mathl{gx=gy}{} durch Multiplikation von links mit $g^{-1}$ sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}folgt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ex
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geht das neutrale Element auf die Identität. Ferner ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_{g \tilde{g} } (x)
}
{ =} { (g \tilde{g}) x
}
{ =} { g ( \tilde{g} x)
}
{ =} { g ( L_{\tilde{g} } (x))
}
{ =} { L_g ( L_{\tilde{g} } (x))
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { (L_g L_{\tilde{g} }) (x)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was
\mathl{L_{g \tilde{g} }=L_g L_{\tilde{g} }}{} bedeutet. Daher ist die Zuordnung ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Zum Nachweis der Injektivität verwenden wir
das Kernkriterium.
Es sei also
\mathl{L_g=\operatorname{id} \,}{.} Dann ist aber sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} {ge
}
{ =} {L_g(e)
}
{ =} {\operatorname{id} \,(e)
}
{ =} {e
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Cayley/Fakt}
{Satz}
{}
{
Jede \definitionsverweis {Gruppe}{}{} lässt sich als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} einer \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.
}
{
Dies folgt sofort aus Lemma 5.12.
\inputbemerkung
{}
{
Es gilt sogar, dass mit Ausnahme der Identität jede Linksmultiplikation fixpunktfrei ist. D.h. die Untergruppe der Permutationen, die isomorph zur vorgegebenen Gruppe ist, besitzt außer der Identität nur fixpunktfreie Abbildungen. Dies folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gx
}
{ = }{ L_g(x)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
durch Multiplikation mit $x^{-1}$ von rechts.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{,}
repräsentiert durch die Elemente
\mathl{\{0, 1 , \ldots , n-1 \}}{.} Das Einselement $1$ erzeugt die Gruppe, das muss dann auch für die zu $G$ isomorphe Untergruppe von $S_n$ gelten. Die Linksaddition mit $1$ ist die Zuordnung
\mathdisp {0 \mapsto1,\, 1 \mapsto 2,\, 2 \mapsto 3 , \ldots , n-2 \mapsto n-1, \, n-1 \mapsto 0} { . }
Das ist also ein
\definitionsverweis {Zykel}{}{}
der Ordnung $n$. Das Element $k$ geht auf die $k$-fache Hintereinanderausführung dieses Zykels.
}