Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 13



Übungsaufgaben

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Addition assoziativ ist.


Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist und dass das neutrale Element ist.


Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Halbring, der kein Peano-Halbring ist.


Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist.


Zeige, dass in einem Peano-Halbring der Ausdruck

gilt.


Zeige, dass in einem Peano-Halbring das Lemma von Bezout in der Form gilt, dass es zu zwei teilerfremden (das ist zu definieren) Elementen Elemente mit

gibt.


Zeige, dass in einer Struktur, die die Peano-Axiome für den Nachfolger erfüllt, die Aussage

gilt.


Zeige, dass die Vorgängereigenschaft

aus der Menge der Peano-Axiome für den Nachfolger folgt.


Zeige, dass die Vorgängereigenschaft

aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.


Zeige, dass die Division mit Rest aus der Menge der erststufigen Peano-Axiome ableitbar ist.


Es sei

die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen mit der und der Abbildung

Welche der Peano-Axiome für den Nachfolger gelten für , welche nicht?


Es sei die disjunkte Vereinigung aus zwei Kopien von zusammen mit dem ausgezeichneten Element (aus der ersten Kopie) und der Abbildung , die auf beiden Kopien die übliche Nachfolgerabbildung ist. Welche der Peano-Axiome für den Nachfolger gelten für , welche nicht?


Es sei die disjunkte Vereinigung aus und aus .[1] Wir definieren auf eine Nachfolgerfunktion, die auf den beiden Bestandteilen durch den üblichen Nachfolger gegeben ist (also durch ), und wir betrachten die als die Null von .

a) Zeige, dass die ersten beiden Axiome aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Nachfolgerfunktion erfüllt.

b) Zeige, dass es keine Addition auf gibt, die mit den Additionen auf und auf übereinstimmt und für die die Abziehregel gilt.

c) Gilt das erststufige Induktionsaxiom (formuliert für die Nachfolgerfunktion)?[2]


Zeige, dass in der arithmetischen Sprache erster Stufe mit den Konstanten , dem Nachfolgersymbol und den zweistelligen Funktionssymbolen und nur abzählbar viele Teilmengen von „adressierbar“ sind und dass daher das zweitstufige Induktionsaxiom der Dedekind-Peano-Axiome nicht in dieser Sprache formulierbar ist.


Zeige, dass man für jede Teilmenge die arithmetische Sprache erster Stufe um ein einstelliges Relationssymbol und die erststufigen Peano-Axiome um geeignete Axiome ergänzen kann, derart, dass diese neue Axiomatik in der Standardinterpretation genau dann gilt, wenn als interpretiert wird. Man folgere daraus, dass mit überabzählbar vielen Relationssymbolen alle Teilmengen der natürlichen Zahlen „adressierbar“ sind.

(Dies bedeutet aber weder, dass für jede Struktur einer solchen Axiomatik jede Teilmenge adressierbar ist, noch, dass das zweitstufige Induktionsaxiom, das eine Aussage über alle Teilmengen macht, erststufig formulierbar ist).



Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Peano-Dedekind-Modell der natürlichen Zahlen und ein Peano-Halbring. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

mit und gibt. Zeige ferner, dass injektiv ist und die Addition und die Multiplikation respektiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass in einem Peano-Halbring das Distributivgesetz gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass in einem Peano-Halbring die Kürzungseigenschaft gilt, d.h. dass aus mit die Gleichheit folgt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass mit und der natürlichen Addition und Multiplikation die ersten sechs Peano-Axiome erfüllt, aber nicht das Induktionsaxiom.




Fußnoten
  1. Dabei muss man darauf achten, die Elemente aus nicht mit denen aus zu verwechseln. Beispielsweise kann man die Elemente einerseits mit und andererseits mit bezeichnen.
  2. Diese Aufgabe ist wohl schwierig.


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