Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 25
- Übungsaufgaben
Zeige die Äquivalenz (innerhalb der - Modallogik) der folgenden modallogischen Axiomenschemata.
- Das
Reflexivitätsaxiom
ist äquivalent zu
- Das
Symmetrieaxiom
ist äquivalent zu
- Das
Transitivitätsaxiom
ist äquivalent zu
- Das
euklidische Axiom
ist äquivalent zu
Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch
Aufgabe 23.17.
Es sei ein - modallogisches System, in dem zusätzlich das Transitivitätsaxiom gelte. Ferner sei ein modallogischer Ausdruck, für den
gelte. Zeige für einen beliebigen Ausdruck die Ableitbarkeit
Wir interpretieren den Satz von Sokrates, „Ich weiß, dass ich nichts weiß“, als modallogisches Axiomenschema
Zeige die folgenden Aussagen.
- Dieses Axiomenschema ist paradox.
- Dieses Axiomenschema ist innerhalb der
-
Modallogik
äquivalent zu
- Dieses Axiomenschema ist innerhalb der
-
Modallogik
äquivalent zu
also zum Leerheitsaxiom.
Es sei die durch das Löb-Axiom gegebene - Modallogik, also die Beweisbarkeitslogik. Wir setzen
(als Abkürzung für einen Widerspruch). Zeige, dass
ableitbar ist.
Es sei eine Menge von modallogischen Ausdrücken, die allesamt nicht paradox seien und es sei
eine Ableitung. Zeige, dass ebenfalls nicht paradox ist.
Welche modallogischen Axiomenschemata gelten in der Prädikatenlogik, wenn man den Notwendigkeitsoperator als mit einer fixierten Variablen interpretiert?
Zeige, dass ein gerichteter Graph, der sowohl euklidisch als auch symmetrisch ist, auch transitiv ist.
Zeige, dass ein gerichteter Graph genau dann reflexiv ist, wenn für die Nachfolgermengen zu jeder Teilmenge die Beziehung
gilt.
Auf einer Menge nennt man eine Abbildung
einen Hüllenoperator, wenn die folgende Eigenschaften für alles Teilmengen gelten.
- Mit
ist auch
Es sei ein gerichteter Graph. Welche der Eigenschaften eines Hüllenoperators erfüllt die Abbildung
welche nicht?
Auf einer Menge nennt man eine Abbildung
einen topologischen Hüllenoperator, wenn die folgenden Eigenschaften für alle Teilmengen gelten.
Zeige die folgenden Aussagen.
- Es sei ein
topologischer Raum.
Dann ist die Zuordnung
die also einer Teilmenge ihren Abschluss (oder ihre abgeschlossene Hülle) zuordnet, ein topologischer Hüllenoperator.
- Auf sei ein topologischer Hüllenoperator gegeben. Dann erhält man eine Topologie auf , indem man die Teilmengen mit als abgeschlossen erklärt.
Es sei ein gerichteter Graph. Wie kann man graphentheoretisch charakterisieren, dass die Abbildung
ein topologischer Hüllenoperator ist?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass das modallogische Leerheitsaxiom das Autismusaxiom und dass das Autismusaxiom das Phantasiearmutsaxiom impliziert. Zeige ferner, dass diese Implikationen nicht umkehrbar sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass eine fatalistische - Modallogik, die einen paradoxen Ausdruck enthält, bereits widersprüchlich ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass für einen gerichteten Graphen die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- ist reflexiv und euklidisch.
- ist symmetrisch, transitiv und sackgassenfrei.
- ist eine Äquivalenzrelation.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass ein gerichteter Graph genau dann transitiv ist, wenn für die Nachfolgermengen zu jeder Teilmenge die Beziehung
gilt.
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