Kurs:Elementare Algebra/2/Klausur/kontrolle


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 4 7 4 7 6 3 61








Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.



Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.



Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.



Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.



a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .

b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .



Berechne in .



Es seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.



Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).



Das Polynom besitzt in die Zerlegung

in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.

a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.



Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.



Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit



Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.



a) Zeige, dass irreduzibel in ist.

b) Zeige, dass irreduzibel in ist. (Tipp: In gilt die Zerlegung .)

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

in .



Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms über . Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von an.



Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.