Kurs:Elementare Algebra/2/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 7 | 4 | 7 | 6 | 3 | 61 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
surjektiv ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
b) Berechne den größten gemeinsamen Teiler der ganzen Zahlen und .
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne in .
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne in
( bezeichne die Restklasse von ).
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Das Polynom besitzt in die Zerlegung
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und . Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.
Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Zeige, dass irreduzibel in ist.
b) Zeige, dass irreduzibel in ist. (Tipp: In gilt die Zerlegung .)
c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
in .
Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine rationale Zahl, die in keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper des Polynoms über . Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von an.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.