Kurs:Elementare Algebra/21/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	4	4	2	2	2	4	1	3	4	4	7	7	6	6	4	3	63

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Monoid ${}M$.
2. Die Ordnung eines Elements ${}g\in G$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Ein Nichtnullteiler ${}a$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein Körper ${}K$.
5. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
6. Die eulersche Funktion ${}\varphi (n)$ zu ${}n\in \mathbb {N}$.
7. Der Zerfällungskörper zu einem Polynom ${}F\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
8. Eine konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
3. Der Satz über die Faktorzerlegung im Quotientenkörper ${}K=Q(R)$ zu einem faktoriellen Bereich ${}R$.
4. Der Satz über die Winkeldreiteilung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

1. ${}n$ ist negativ.
2. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}8$, aber nicht von ${}-16$.
3. ${}n$ ist kein Vielfaches von ${}36$.
4. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}150$, aber nicht von ${}125$.
5. In der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gibt es keine Primzahl, die größer als ${}5$ ist.

Was ist ${}n$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{3}+4X^{2}+3X+4$ und ${}T=3X^{2}+2X+1$ durch.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Einheiten im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} ]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}11$ und ${}13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=5\!\!\mod 11{\text{ und }}x=6\!\!\mod 13.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p\in \mathbb {Z}$ eine Primzahl und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ nur die beiden trivialen idempotenten Elemente ${}0$ und ${}1$ besitzt.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien ${}I$ und ${}J$ Ideale in einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige die Gleichheit

${}(I+J)^{n}=I^{n}+I^{n-1}J+I^{n-2}J^{2}+\cdots +I^{2}J^{n-2}+IJ^{n-1}+J^{n}\,.$

Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

a) Zeige, dass ${}X^{2}+1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

b) Zeige, dass ${}X^{4}+1$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist. (Tipp: In ${}\mathbb {R} [X]$ gilt die Zerlegung ${}X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}$.)

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{{\left(X^{2}+1\right)}{\left(X^{4}+1\right)}}}$

in ${}\mathbb {Q} (X)$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl, die in ${}\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel besitzt. Bestimme den Zerfällungskörper ${}L$ des Polynoms ${}X^{3}-q$ über ${}\mathbb {Q}$. Welchen Grad besitzt er? Man gebe auch eine Realisierung des Zerfällungskörpers als Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen ${}a$ und ${}b$ die Potenz ${}a^{b}$ nicht konstruierbar sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.