Kurs:Funktionentheorie/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	2	5	4	0	3	4	7	3	4	0	3	3	2	0	53

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein offener Kreisring in ${}{\mathbb {C} }$.
2. Die antiholomorphe Ableitung einer reell differenzierbaren Funktion

   $f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },$

   ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen.

3. Eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Ein Pol einer holomorphen Funktion

   $f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

5. Eine relative Homotopie von stetigen Wegen.
6. Die Eisenstein-Reihe vom Gewicht ${}k$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
2. Der Satz von Liouville.
3. Der Satz über die Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$

(mit ${}ad-bc\neq 0$) und insbesondere die Ableitung (bei ${}d\neq 0$) im Nullpunkt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass ${}U$ auch wegzusammenhängend ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} },\,\vert {z}\vert <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{k}.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}f(x)=-3x+x^{3}\,.$

Wegen

${}f'(x)=-3+3x^{2}\,$

ist diese Funktion auf dem offen Intervall ${}]-1,1[$ streng fallend und damit injektiv (mit dem Bildintervall ${}]-2,2[$). Dabei ist ${}f(0)=0$. Es sei

${}g(y)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}y^{k}\,$

die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung

${}(g(f(x))=x\,$

die Koeffizienten ${}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg und sei ${}B$ eine obere Schranke für ${}\Vert {\omega (P)}\Vert _{\text{max}}$ auf ${}\gamma ([a,b])$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\Vert {\int _{\gamma }\omega }\Vert \leq B\cdot L(\gamma )\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ zur ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Differentialform

${}\omega ={\overline {z}}dz+zd{\overline {z}}\,$

auf ${}{\mathbb {C} }$ zum Weg ${}\gamma (t)=-2+{\mathrm {i} }t+3t^{2}$ auf dem Intervall ${}[-3,1]$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den riemannschen Hebbarkeitssatz.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Hauptteil des Produktes der meromorphen Funktionen

${}f=3z^{-2}+4z^{-1}+2-5z+\ldots \,$

und

${}g=-z^{-2}+6z^{-1}+3-4z+\ldots \,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die (stetige) Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}}{\text{ bei }}x>0\,,\\0{\text{ bei }}x=0\,,\end{cases}}$

nicht rektifizierbar ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}Y$ hausdorffsch ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{n},$

das komplexe Potenzieren zum Exponenten ${}n$. Beschreibe den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\pi (\varphi )\colon \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\})\longrightarrow \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\}).$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Windungszahl auf den Teilgebieten des gezeigten Weges (der Weg verlaufe unten rum nach rechts).

Aufgabe (0 Punkte)