Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Der Ring der konvergenten Potenzreihen}
In der letzten Vorlesung haben wir auf der formalen Ebene die inverse Potenzreihe, das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen und die Umkehrreihe betrachtet. In dieser Vorlesung betrachten wir die entsprechenden Konvergenzaussagen.
\inputdefinition
{}
{
Man nennt den
\definitionsverweis {Ring}{}{}
aller in einer
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergenten}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
den
\definitionswort {Ring der konvergenten Potenzreihen}{.}
}
Dieser Ring wird mit
\mathl{{\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle }{} bezeichnet. Es beruht auf
Lemma 8.5,
dass dabei ein kommutativer Ring vorliegt, wobei die über die Potenzreihen definierte Addition und Multiplikation mit der Addition und Multiplikation von Funktionen übereinstimmen. Es liegt insbesondere die Unterringbeziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}[ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vor. Dagegen ist es nicht unmittelbar klar, dass die formal gegebenen Operationen wie inverse Potenzreihe, Einsetzen von Potenzreihen, Umkehrreihe wieder zu konvergenten Reihen führen.
\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihe/C/Konstanter Term nicht 0/Einheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{{\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i }
}
{ \in }{ {\mathbb C}[ \![T]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die formal invertierte Potenzreihe ${ \frac{ 1 }{ F } }$ konvergent.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Gemäß dem Beweis zu
Satz 9.15
ist die inverse formale Potenzreihe gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } T ^{ j }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Koeffizienten die rekursiven Bedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ a_0^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_0b_n+ a_1b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_1 + a_nb_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a_0 } } { \left( - a_1b_{n-1} - \cdots - a_{n-1}b_1 - a_nb_0 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen, wodurch sich die letzte Gleichung vereinfacht. Wegen der Konvergenz von $F$ gibt es nach
Aufgabe 8.6
eine positive reelle Zahl $A$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_n }
}
{ \leq }{ A^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { b_n }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } (2A)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wir durch Induktion beweisen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { b_1 }
}
{ = }{ \betrag { -a_1 }
}
{ \leq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { b_n }
}
{ \leq} { \betrag { - a_1b_{n-1} - \cdots - a_{n-1}b_1 - a_nb_0 }
}
{ \leq} { \betrag { a_1 } \betrag { b_{n-1} } + \cdots + \betrag { a_{n-1} } \betrag { b_1 } + \betrag { a_n } \betrag { b_0 }
}
{ \leq} { A^1 { \frac{ (2A)^{n-1} }{ 2 } } + \cdots + A^{n-1} { \frac{ (2A)^{1} }{ 2 } } + A^n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 2^{n-1}A^n + \cdots + 2 A^n \right) } +A^n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \left( 2^{n} -2 \right) } A^{n} +A^n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 2^{n} \cdot A^{n}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daraus ergibt sich die Konvergenz der invertierten Reihe.
Insbesondere ergibt sich entsprechend zu
Satz 9.15,
dass eine konvergente Potenzreihe genau dann eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen ist, wenn der konstante Term nicht $0$ ist. Wenn eine nullstellenfreien Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
durch eine Potenzreihe gegeben ist, so ist auch die Funktion ${ \frac{ 1 }{ f } }$ durch eine Potenzreihe beschreibbar, die formale Invertierung ergibt die invertierte Funktion.
\inputfaktbeweis
{Rationale Funktion/C/Konvergente Potenzreihenentwicklung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{G/F}{} eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
über ${\mathbb C}$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine Nullstelle des Nennerpolynoms.}
\faktfolgerung {Dann wird $G/F$ in einer offenen Umgebung von $c$ durch eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
beschrieben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 10.2 und Lemma 8.5 (2).
Die Potenzreihe einer rationalen Funktion bestimmt man am besten über die Taylorentwicklung.
\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Der Ring der
\definitionsverweis {konvergenten Potenzreihen}{}{}
\mathl{{\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle }{}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Als Unterring des formalen Potenzreihenringes handelt es sich nach
Korollar 9.17
um einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } T ^{ i }
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei $k$ der minimale Index mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { T^k G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der formalen Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { \sum_{ n = k}^\infty a_n T^{n-k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Konvergenz von $F$ sichert, dass auch $G$ konvergiert. Dabei ist $G$ nach
Lemma 10.2
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
im Ring der konvergenten Potenzreihen und somit ist das von $F$
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{}
gleich
\mathl{(T^k)}{.} Das von einer Elementfamilie
\mathbed {F_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
erzeugte Ideal ist gleich dem von der Familie
\mathbed {T^{k_j}} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
erzeugten Ideal, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_j
}
{ =} { T^{k_j} G_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Einheit $G_j$ ist. Dieses Ideal ist gleich dem
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
\mathl{(T^k)}{,} wobei $k$ das Minimum der $k_j$ ist. Es liegt also ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
mit dem einzigen maximalen Ideal $(T)$ und damit ein diskreten Bewertungsring vor.
\zwischenueberschrift{Einsetzen von Potenzreihen}
\inputdefinition
{}
{
Für eine
\definitionsverweis {komplexe Potenzreihe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {F} \Vert_t
}
{ \defeq} { \sum_{n = 0}^\infty \betrag { c_n } t^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswortpraemath {t}{ Norm }{}
von $F$. Ihr Wert liegt in $\R_+$ oder ist gleich $\infty$.
}
{Komplexe Potenzreihe/t-Norm/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die
$t$-\definitionsverweis {Norm}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Potenzreihen}{}{}
erfüllt folgende Eigenschaften
\zusatzklammer {dabei seien $F,G$ Potenzreihen mit Entwicklungspunkt $0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Für den
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
$R$ von $F$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R
}
{ =} { \operatorname{sup} ( t , \Vert {F} \Vert_t < \infty )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere liegt genau dann eine konvergente Potenzreihe vor, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {F} \Vert_t
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {F} \Vert_t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {F+G} \Vert_t
}
{ \leq} { \Vert {F} \Vert_t + \Vert {G} \Vert_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {w F } \Vert_t
}
{ =} { \betrag { w } \cdot \Vert {F} \Vert_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {F \cdot G} \Vert_t
}
{ \leq} { \Vert {F} \Vert_t \cdot \Vert {G} \Vert_t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.27. }
\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihen/C/Hintereinanderschaltung/Formale Einsetzung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {F} {und} {G} {}
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihen}{}{}
mit Entwicklungspunkt $0$, es seien $f,g$ die zugehörigen Funktionen und es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann konvergiert die formal eingesetzte Potenzreihe
\mathl{F(G(z))}{}
\zusatzklammer {siehe
Definition 9.18} {} {}
und beschreibt auf einer offenen Umgebung von $0$ die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
$f \circ g$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } z ^{ i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } z ^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die konvergenten
\definitionsverweis {Potenzreihen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die eingesetzte Potenzreihe ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ F(G)
}
{ =} { {\sum }_{ k=0 }^{ \infty } c_{ k } z ^{ k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{}
mit den Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_k
}
{ =} { \sum_{i = 0}^k a_i { \left( \sum_{j_1 + \cdots + j_i = k } b_{j_1} \cdots b_{j_i} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Potenzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(z)^i
}
{ =} { { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } z ^{ j } \right) }^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind konvergent nach
Lemma 8.5,
sie beschreiben die $i$-te Potenz von $g$ und die Koeffizientenbeschreibung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(z)^i
}
{ =} { \sum_{\ell = 0}^\infty d_{\ell, i} z^\ell
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{ \ell,i}
}
{ =} { \sum_{ (j_1 , \ldots , j_i),\, \sum_{r = 1}^i j_r = \ell } b_{j_1} \cdots b_{j_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
tragen nur die Tupel
\mathl{(j_1 , \ldots , j_i)}{} bei, in denen jeder Index $\geq 1$ ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{\ell ,i}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ < }{ i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ =} { \sum_{i = 0}^k a_i d_{k, i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun $R$ der
\definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{}
von $F$ und $S$ der Konvergenzradius von $G$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {G} \Vert_t
}
{ <} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Solche $t$ gibt es wegen der Stetigkeit von $g$, siehe
Aufgabe 10.16.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \leq }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { g(z) }
}
{ \leq} { \sum_{ j = 0}^\infty \betrag { b_j } \betrag { z }^j
}
{ \leq} { \sum_{ j = 0}^\infty \betrag { b_j } t^j
}
{ =} { \Vert {G} \Vert_t
}
{ <} {R
}
}
{}{}{}
und daher landen diese $z$ unter $g$ im Konvergenzbereich von $F$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \leq }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(g(z))
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^\infty a_i { \left( {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } z ^{ j } \right) }^i
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^\infty a_i { \left( \sum_{\ell = 0}^\infty d_{\ell, i} z^\ell \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt unter Verwendung von
Lemma 10.6 (5)
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{ i = 0}^\infty \betrag { a_i } { \left( \sum_{\ell = 0}^\infty \betrag { d_{\ell, i} } \betrag { z }^\ell \right) }
}
{ \leq} { \sum_{ i = 0}^\infty \betrag { a_i } { \left( \sum_{\ell = 0}^\infty \betrag { d_{\ell, i} } t^\ell \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^\infty \betrag { a_i } \cdot \Vert {G^i} \Vert_t
}
{ \leq} { \sum_{ i = 0}^\infty \betrag { a_i } \cdot \Vert {G} \Vert_t^i
}
{ =} { \Vert {F} \Vert_{ \Vert {G} \Vert_t }
}
}
{}
{}{}
was nach der Bedingung an $t$ endlich ist. Es liegt also eine bestimmte Aufspaltung der Familie
\mathbed {\betrag { a_i } \betrag { d_{ \ell ,i} z^\ell }} {}
{(i, \ell) \in \N^2} {}
{} {} {} {,}
vor, die konvergiert. Daher ist diese Familie und auch die Familie
\mathbed {a_i d_{ \ell ,i} z^\ell} {}
{(i, \ell) \in \N^2} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {summierbar}{}{.}
Nach
dem großen Umordnungssatz
gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f(g(z))
}
{ =} { \sum_{ i = 0}^\infty a_i { \left( \sum_{\ell = 0}^\infty d_{\ell, i} z^\ell \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \left( \sum_{i = 0}^\infty a_i d_{ k , i } \right) } z^k
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty { \left( \sum_{i = 0}^k a_i d_{ k , i } \right) } z^k
}
{ =} { \sum_{k = 0}^\infty c_k z^k
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (F \circ G) (z)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Hintereinanderschaltung der Funktionen konvergiert also und stimmt mit der formalen Einsetzung überein
\inputfaktbeweis
{Konvergente Potenzreihe/C/Umkehrabbildung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{{\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } S ^{ j }
}
{ \in }{ {\mathbb C}[ \![S]\! ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe $F$, die die Umkehrabbildung zu $G$ beschreibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zur Notationsvereinfachung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { S +S^2 H(S)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer ebenfalls konvergenten Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ = }{ H(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {H} \Vert_s
}
{ =} { N
}
{ <} { \infty
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } a_{ n } T ^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die formale Potenzreihe aus
Satz 9.20
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G)
}
{ = }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(F)
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass $F$ ebenfalls konvergiert. Dazu setzen wir $F$ in Bezug zu den rekursiv definierten formalen Potenzreihen $F_n$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{n+1}
}
{ =} { T- F_n^2 \cdot H(F_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t
}
{ =} { { \frac{ M }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \operatorname{min} \left( s ,\, { \frac{ 1 }{ 2N } } \right) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und behaupten zunächst, dass die $t$-Norm der $F_n$ durch $M$ beschränkt und insbesondere endlich ist. Dies ergibt sich durch Induktion. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist es trivialerweise richtig und es ist, unter Verwendung von
Lemma 10.6
und dem Beweis zu
Satz 10.7,
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Vert {F_{n+1}} \Vert_t
}
{ \leq} { t + \Vert {F_{n}} \Vert_t^2 \cdot \Vert {H ( F_{n} ) } \Vert_t
}
{ \leq} { t + \Vert {F_{n}} \Vert_t^2 \cdot \Vert {H} \Vert_{ \Vert {F_{n}} \Vert_t }
}
{ \leq} { t + \Vert {F_{n}} \Vert_t^2 \cdot \Vert {H} \Vert_{ M }
}
{ \leq} { { \frac{ M }{ 2 } } + M^2 \cdot \Vert {H} \Vert_{ s }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \frac{ M }{ 2 } } + M^2 N
}
{ \leq} { M
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Ebenfalls mit Induktion folgt, dass die Koeffizienten bis einschließlich $T^n$ von $F_n$ mit den Koeffizienten von $F$ übereinstimmen. Dies ergibt sich einerseits aus der Rekursionsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_{n+1}
}
{ =} { T- F_n^2 \cdot H(F_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die zeigt, dass die Koeffizienten von $F_{n+1}$ bis $T^{n+1}$ nur von den Koeffizienten von $F_n$ bis $T^{n}$ und von denen von $H$ abhängen, und andererseits daraus, dass $F$ für diese Rekursionsgleichung ein Fixpunkt ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { T- F^2 \cdot H(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, siehe
Aufgabe 9.25.
Mit
Aufgabe 10.19
folgt dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {F} \Vert_t
}
{ \leq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also die Konvergenz von $F$.
Da die formale Umkehrreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F \circ G
}
{ = }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G \circ F
}
{ = }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, folgt mit
Satz 10.7,
dass die zugehörigen Funktionen die Umkehrabbildungen zueinander sind.
\zwischenueberschrift{Komplex-analytische Funktionen}
\inputdefinition
{}
{
Eine Funktion
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {analytisch}{,}
wenn sie in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
lokal durch eine
\definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{}
mit Entwicklungspunkt $w$ beschrieben werden kann.
}
\inputfaktbeweis
{Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Differenzierbarkeit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Eine
\definitionsverweis {komplex-analytische Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}}
\faktfolgerung {ist unendlich oft
\definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 8.13.
\inputfaktbeweis
{Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Ringeigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\maabb {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {komplex-analytische Funktionen}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind auch
\mathl{f+g}{} und
\mathl{fg}{} komplex-analytisch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 8.5.
\inputfaktbeweis
{Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Nullstellenfrei/Inverse Funktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine nullstellenfreie
\definitionsverweis {komplex-analytische Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ f } }}{} komplex-analytisch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 10.2.
\inputfaktbeweis
{Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U,V
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
und seien
\maabb {g} {U} { {\mathbb C}
} {}
und
\maabbdisp {f} {V} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {komplex-analytische Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(U)
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mathl{f \circ g}{} komplex-analytisch.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 10.7.
\inputfaktbeweis
{Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Umkehrfunktion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\maabb {g} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex-analytische Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt die Einschränkung von $g$ auf einer offenen Umgebung von $P$ eine komplex-analytische
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 10.8.
{Komplex-analytische Funktion/Eine Variable/Identitätssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und seien
\maabb {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {komplex-analytische Funktionen}{}{.}
Es gebe eine Folge $x_n$ in $U$ mit einem
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der von allen $x_n$ verschieden sei. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_n)
}
{ = }{ g(x_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.25. }