Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Das Residuum}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { U { \left( P,r \right) } \setminus \{P\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {punktierten Kreisscheibe}{}{.}
Es sei
\mathl{\sum_{n \in \Z} c_n (z-P)^n}{} die
\definitionsverweis {Laurent-Entwicklung}{}{}
von $f$. Dann nennt man den Koeffizienten $c_{-1}$ das
\definitionswort {Residuum}{}
von $f$ in $P$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)}{} bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Integralbeschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {f} {U \setminus \{ P \} } { {\mathbb C}
} {}
eine auf einer punktierten offenen Umgebung von $P$ definierte
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma f(z) dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\gamma$ ein einfacher Umlaufweg um $P$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Satz 16.10.
\inputfaktbeweis
{Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Einfache Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt.}
\faktuebergang {Dann erfüllt das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Für eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
$f$ auf $U$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( { \frac{ 1 }{ z-P } } \right)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( { \frac{ 1 }{ { \left( z-P \right) }^n } } \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {} { { \left\{ f \mid f: U \setminus \{P\} \rightarrow {\mathbb C} \text{ holomorph} \right\} } } { {\mathbb C}
} {f} { \operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)
} {,}
ist
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist in allen Fällen aus den Laurent-Reihen der Funktionen ablesbar, (4) ergibt sich aus Lemma 16.15.
Die folgende Charakterisierung wird manchmal auch als Definition für das Residuum verwendet, da man für sie nicht die Existenz der Laurent-Entwicklung voraussetzen muss.
\inputfaktbeweis
{Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Charakterisierung mit Stammfunktionen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\maabb {f} {U \setminus \{P\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
von $f$ in $P$ diejenige eindeutig bestimmte Zahl $r$ mit der Eigenschaft, dass
\mathl{f(z)-r { \frac{ 1 }{ z -P } }}{} lokal eine Stammfunktion besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { \sum_{n \in \Z} c_n (z-P)^n
}
{ =} { c_{-1} (z-P)^{-1} + \sum_{n \in \Z,\, n \neq -1 } c_n (z-P)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Laurent-Entwicklung}{}{}
von $f$ in $P$. Entsprechend ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ f(z)-r { \frac{ 1 }{ z -P } }
}
{ =} { { \left( c_{-1}-r \right) } (z-P)^{-1} + \sum_{n \in \Z,\, n \neq -1 } c_n (z-P)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die hintere Summe besitzt lokal nach
Korollar 14.3
und nach
Aufgabe 11.4
eine Stammfunktion. Daher besitzt wegen
Beispiel 12.6
die Gesamtfunktion genau dann eine Stammfunktion, wenn der vordere Term gleich $0$ ist, also bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{-1}
}
{ = }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Residuum 0/Punktierte Kreisscheibe/Charakterisierung mit Stammfunktionen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\maabb {f} {U \setminus \{P\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
von $f$ in $P$ genau dann gleich $0$, wenn
\mathl{f(z)}{} lokal in einer punktierten Umgebung von $P$ eine Stammfunktion besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ist ein Spezialfall von Lemma 19.4.
\zwischenueberschrift{Das Residuum einer meromorphen Funktion}
Das
\definitionsverweis {Residuum}{}{}
$\operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)$ zu einer holomorphen Funktion $f$ auf
\mathl{U \setminus \{P\}}{} im Punkt $P$ ist insbesondere für jede auf $U$ definierte
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
definiert und besitzt dort gewisse zusätzliche Eigenschaften. Nach
Aufgabe 17.4
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { { \frac{ g(z) }{ (z-P)^m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein $m$ mit einer holomorphen Funktion $g$ und das Residuum kann aus der Potenzreihe von $g$ abgelesen werden. Daher kann das Residuum auch mit der Ableitung berechnet werden.
\inputfaktbeweis
{Meromorphe Funktion/Residuum/Ableitungsberechnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zumindest so groß wie die
\definitionsverweis {Polordnung}{}{}
von $f$ in $P$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { { \frac{ g(z) }{ (z-P)^m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {holomorphen Funktion}{}{}
$g$ auf $U$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)
}
{ =} { { \frac{ g^{(m-1)} (P) }{ (m-1)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { { \frac{ g(z) }{ (z-P)^m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der holomorphen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g(z)
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty c_n ( z-P)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt $f$ die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { (z-P)^{-m} { \left( \sum_{n = 0}^\infty c_n ( z-P)^n \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{n = 0}^\infty c_n ( z-P)^{n-m} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das Residuum von $f$ in $P$ ist gleich $c_{m-1}$. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( f \right)
}
{ =} { c_{m-1}
}
{ =} { { \frac{ g^{(m-1)} (P) }{ (m-1)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Satz 8.16.
Zu einer nullstellenfreien differenzierbare Funktion $f$ nennt man
\mathl{{ \frac{ f' }{ f } }}{} die \stichwort {logarithmische Ableitung} {} von $f$, siehe
Aufgabe 19.10
für den Grund für diese Bezeichnung.
\inputfaktbeweis
{Meromorphe Funktion/Ordnung/Logarithmische Ableitung/Residuum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\zusatzklammer {Nullstellen} {} {-}\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mathdisp {\operatorname{Res}_{ P } \left( { \frac{ f' }{ f } } \right)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen, es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f (z)
}
{ =} { \sum_{n = k}^\infty c_nz^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Laurent-Entwicklung}{}{}
von $f$ im Nullpunkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_k
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. $k$ ist die Ordnung von $f$ im Nullpunkt. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f' (z)
}
{ =} { \sum_{n = k}^\infty n c_n z^{ n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Ansatz
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ f \cdot ( k z^{-1} + b_0 z + b_1z^1 + \ldots )
}
{ =} { (c_kz^k+ c_{k+1}z^{k+1} + \ldots ) ( k z^{-1} + b_0 z + b_1z^1 + \ldots )
}
{ =} { kc_k z^{k-1} + (k+1) c_{k+1} z^{k} + \ldots
}
{ =} { f'
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
zeigt, dass die meromorphe Funktion
\mathl{{ \frac{ f' }{ f } }}{} mit $kz^{-1}$ beginnt und daher das Residuum $k$ besitzt.
Die vorstehende Aussage kann man auch als Korollar zu der folgenden Aussage erhalten.
\inputfaktbeweis
{Meromorphe Funktion/Ordnung mal Auswertung/Logarithmische Ableitung mal Funktion/Residuum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei $h$ eine holomorphe Funktion auf $U$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ P } { \left( f \right) } \cdot h(P)
}
{ =} { \operatorname{Res}_{ P } \left( { \frac{ h(z) f'(z) }{ f(z) } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ \operatorname{ord}_{ P } { \left( f \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ordnung von $f$ in $P$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { { \left( z-P \right) }^k g(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer in $P$ holomorphen Funktion $g$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Mit der Produktregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(z) { \frac{ f'(z) }{ f(z) } }
}
{ =} { h(z) { \frac{ k { \left( z-P \right) }^{k-1} g(z) + { \left( z-P \right) }^k g'(z) }{ { \left( z-P \right) }^k g(z) } }
}
{ =} { h(z) { \left( k \cdot { \frac{ 1 }{ z-P } } + { \frac{ g'(z) }{ g(z) } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei ist
\mathl{{ \frac{ g'(z) }{ g(z) } }}{} holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt $P$ ablesen, sie ist nämlich
\mathl{{ \frac{ k \cdot h(P) }{ z-P } } +}{} eine Potenzreihe.
Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt $P$ gleich
\mathl{k \cdot h(P)}{.}
\inputfaktbeweis
{Meromorphe Funktion/Ordnung mal Punkt/Logarithmische Ableitung mal z/Residuum/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord}_{ P } { \left( f \right) } \cdot P
}
{ =} { \operatorname{Res}_{ P } \left( { \frac{ z f'(z) }{ f(z) } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus
Lemma 19.8
mit der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(z)
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beachte, dass in der vorstehenden Aussage eine Gleichheit von komplexen Zahlen ausgesprochen wird.
\zwischenueberschrift{Das Residuum einer meromorphen Differentialform}
Für eine meromorphe Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { h dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch eine meromorphe Funktion $h$ auf $U$ gegeben ist
\zusatzklammer {und die also außerhalb der Pole von $h$ eine holomorphe Differentialform ist} {} {,}
definiert man das Residuum in jedem Punkt durch das Residuum von $h$. Entsprechend kann man das Residuum zu einer außerhalb von isolierten Punkten definierten holomorphen Differentialform in den isolierten Punkten definieren.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorphe Differentialform um Punkt/Residuum/Rückzug/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $V$ eine offene Umgebung von $\varphi(P)$ und sei $\omega$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf
\mathl{V \setminus \{\varphi(P)\}}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( \varphi^* \omega \right)
}
{ =} { \operatorname{Res}_{ \varphi(P) } \left( \omega \right)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z)
}
{ =} { \sum_{k = 1}^\infty c_k z^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Potenzreihe von $\varphi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(w)
}
{ =} { \sum_{n \in \Z} d_n w^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
von $h$. Es geht, aufgrund der expliziten Beschreibung des Rückzuges in
Lemma 11.15,
um das Residuum der Funktion
\mathdisp {{ \left( h \circ \varphi \right) } \cdot \varphi'} { }
bzw.
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{n \in \Z} d_n { \left( \varphi(z) \right) }^n \cdot \varphi'(z)
}
{ =} { \sum_{n \in \Z} d_n { \left( c_1 z^1 +c_2z^2 + \ldots \right) }^n \cdot { \left( c_1+2c_2z + \ldots \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
und es ist zu zeigen, dass daber der Koeffizient zu $z^{-1}$ gleich $d_{-1}$ ist. Wir betrachten die Situation für verschiedene Exponenten $n$ getrennt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \neq }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt die Funktion
\mathl{\varphi^n \varphi'}{} eine Stammfunktion, nämlich
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n+1 } } \varphi^{n+1}}{,} daher ist das Residuum von diesen Summanden
\zusatzklammer {bzw. von \mathlk{\sum_{n \in \Z, n \neq -1} d_n { \left( \varphi(z) \right) }^n \cdot \varphi'(z)}{}} {} {}
gleich $0$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
müssen wir das Residuum von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{-1} { \left( c_1 z^1 +c_2z^2 + \ldots \right) }^{-1} \cdot { \left( c_1+2c_2z + \ldots \right) }
}
{ =} { d_{-1} z^{-1} { \left( c_1 +c_2z + \ldots \right) }^{-1} \cdot { \left( c_1+2c_2z + \ldots \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausrechnen. Die invertierte Funktion zu
\mathl{c_1 +c_2z + \ldots}{} ist von der Form
\mathl{c_1^{-1} + a_1 z+ \ldots}{,} daher beginnt die Laurent-Reihe des gesamten Ausdruckes mit
\mathl{d_{-1}z^{-1} + \ldots}{,} und das Residuum ist $d_{-1}$.
Wir erwähnen noch einen weiteren Beweis.
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi'(P)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt nach
Korollar 5.3
lokal um $P$ eine biholomorphe Abbildung vor. Eine einfache Umrundung $\gamma$ von $P$ wird daher auf die topologisch einfache Umrundung
\mathl{\varphi \circ \gamma}{} von $\varphi(P)$ abgebildet. Nach
Lemma 19.2
und
Lemma 12.8
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Res}_{ P } \left( \varphi^* \omega \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_\gamma \varphi^* \omega
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \pi { \mathrm i} } } \int_{\varphi \circ \gamma } \omega
}
{ =} { \operatorname{Res}_{ \varphi(P) } \left( \omega \right)
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Hierbei haben wir verwendet, dass man mit dem Wegintegral zum Weg $\varphi \circ \gamma$ das Residuum ausrechnen kann, was wir aber noch nicht bewiesen haben. Es ist zwar $\varphi \circ \gamma$ ein bijektives Abbild der Standardumrundung ist, aber selbst keine Standardumrundung. In den folgenden Vorlesungen werden wir zeigen, dass man mit solchen topologisch deformierten Wegen ebenfalls die relevanten Wegintegrale ausrechnen kann. Wir erwähnen einen weiteren Satz, den wir vollständig erst nach einigen topologischen Vorbereitungen mit
dem Residuuensatz
beweisen können. Zur Formulierung verwenden wir die Sprache der exakten Komplexe. Man sagt, dass eine
\zusatzklammer {endliche oder unendliche} {} {}
Folge
\mathdisp {\ldots \longrightarrow M_0 \stackrel{d_1}{\longrightarrow} M_1 \stackrel{d_2}{\longrightarrow} M_2 \stackrel{d_3}{\longrightarrow} M_3 \longrightarrow \ldots} { }
von
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
$M_i$
\zusatzklammer {oder kommutativen Gruppen oder
\definitionsverweis {Moduln}{}{}
über einem kommutativen Ring} {} {}
und linearen Abbildungen $d_i$ ein \stichwort {exakter Komplex} {} ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} d_{i+1}
}
{ =} { \operatorname{bild} d_{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$
\zusatzklammer {als Unterräume von $M_i$} {} {}
ist. In der folgenden Aussage wird der ${\mathbb C}$-Vektorraum der holomorphen Funktionen auf einer offenen Menge $U$, hier mit
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} )}{} bezeichnet, mittels der Ableitung auf den Vektorraum der holomorphen Differentialformen auf $U$, bezeichnet mit
\mathl{\Gamma (U, \Omega )}{,} abgebildet.
Ferner werden die Residuen der holomorphen Differentialformen in isolierten Punkten ausgewertet.
{Gebiet/Sternförmig ohne Punkte/Differentialform/Residuum/Exakt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {sternförmiges}{}{}
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ G \setminus \{P_1 , \ldots , P_n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Komplex
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathbb C} \longrightarrow \Gamma (U, {\mathcal O} ) \stackrel{d}{\longrightarrow} \Gamma (U, \Omega ) \stackrel{ \operatorname{Res}_{ P_i } \left( - \right) }{\longrightarrow } {\mathbb C}^n \longrightarrow 0} { }
exakt. Insbesondere ist der
\definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
der
\definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{}
modulo der
\definitionsverweis {exakten Differentialformen}{}{}
isomorph zu ${\mathbb C}^n$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Die Abbildungen sind nach
Lemma 11.2 (4)
und
Lemma 19.3 (4)
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
Da $U$ selbst ein Gebiet ist, stimmen die konstanten Funktionen mit den Funktionen überein, deren Ableitung gleich $0$ ist. Deshalb ist der Komplex in
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O} )}{} exakt. Die Surjektivität hinten ist klar, da die auf $U$ holomorphe Differentialform
\mathl{{ \frac{ a_1 dz }{ z-P_1 } } + \cdots + { \frac{ a_n dz }{ z-P_n } }}{} auf das Residuentupel
\mathl{\left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right)}{} abbildet.
Es sei eine holomorphe Funktion $f$ auf $U$ gegeben, und es sei
\mathl{\sum_{n \in \Z} c_n (z-P_i)^n}{} die
\definitionsverweis {Laurent-Reihe}{}{}
von $f$ in $P_i$. Die zugehörige Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ df
}
{ =} { f'dz
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt dann in $P_i$ eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Residuum. Es sei nun umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ = }{ hdz
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine holomorphe Differentialform auf $U$, deren Residuen in den Punkten
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} gleich $0$ seien. Dies bedeutet nach
Korollar 19.5,
dass es zu jedem Punkt $P_i$ eine offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i
}
{ \in }{V_i
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}