Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/19/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	1	2	3	2	1	2	4	2	2	1	3	2	8	3	5	3	60

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Man nennt

   ${}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\not \in B\right\}}\,$

   die Differenzmenge „${}A$ ohne ${}B$ “.

2. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt konstant, wenn es ein ${}c\in M$ mit ${}\varphi (x)=c$ für alle ${}x\in L$ gibt.
3. Man sagt, dass die natürliche Zahl ${}a$ die natürliche Zahl ${}b$ teilt, wenn es eine natürliche Zahl ${}c$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist.
4. Das Element ${}a$ heißt das Maximum von ${}T$, wenn ${}a\in T$ ist und wenn ${}a\geq x$ für alle ${}x\in T$ gilt.
5. Die Addition der rationalen Zahlen ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ ist durch

   ${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}\,$

   definiert.

6. Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt archimedisch angeordnet, wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

   $n\geq x$

   gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Aus einer Gleichung ${}n\cdot k=m\cdot k$ mit ${}k,m,n\in \mathbb {N}$ und mit ${}k\neq 0$ folgt ${}n=m$.
2. Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

   ${}n=qd+r\,.$

3. Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Dann konvergiert die zugehörige Dezimalbruchfolge ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}x$.

Aufgabe (3 Punkte)

Auf der Haseigelschule wird mit der folgenden Tadelwährung gerechnet. ${}5$ Ermahnungen sind ein Tagebucheintrag, ${}3$ Tagebucheinträge sind ein Strafnachmittag, ${}4$ Strafnachmittage sind ein Elterngespräch. Die Tadelwährung wird in absteigender Tadelschwere angegeben.

1. Im dritten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt (im Zehnersystem) ${}67$ Einzelermahnungen. Wie lautet das Ergebnis in der Tadelwährung?
2. Im vierten Schuljahr hatte Gabi Hochster insgesamt ${}2114$ Einheiten in der Tadelwährung. Wie viele Einzelermahnungen stecken da dahinter?
3. Inwiefern ist die Analogie mit einem Münzsystem oder dem Dezimalsystem mathematisch fragwürdig?

Lösung

Hinter einem Strafnachmittag verbergen sich insgesamt ${}15$ Ermahnungen und hinter einem Elterngespräch verbergen sich ${}60$ Ermahnungen.

1. Es ist

   ${}67=60+5+2=1\cdot 60+1\cdot 5+2\cdot 1\,,$

   dies ist in der Tadelwährung gleich ${}1012$.

2. Die Tadelwährung ${}2114$ bedeutet

   ${}2\cdot 60+1\cdot 15+1\cdot 5+4\cdot 1=144\,$

   Einzelermahnungen.

3. Wenn die Strafnachmittage abzuleisten sind, sobald sie anfallen, so kommt, bei vier Strafnachmittagen, das Elterngespräch zusätzlich dazu, ohne dass diese verschwinden. Das Elterngespräch resultiert zwar aus vier Strafnachmittagen, hebt diese aber nicht wertgleich auf, wie das im Münzsystem oder im Dezimalsystem ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

$\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Lösung

Die Bedingungen sind:

Für jedes

${}i=1,\ldots ,9\,$

ist die Abbildung

$\{1,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,j\longmapsto a_{i,j},$

bijektiv.

Für jedes

${}j=1,\ldots ,9\,$

ist die Abbildung

$\{1,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,i\longmapsto a_{i,j},$

bijektiv.

Für jedes Paar

${}0\leq r,s\leq 2\,$

ist die Abbildung

$\{3r+1,3r+2,3r+3\}\times \{3s+1,3s+2,3s+3\}\longrightarrow \{1,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

bijektiv.

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Lucy Sonnenschein und Heidi Gonzales haben jeweils eine zylinderförmige Laugenstange der Länge ${}20$ cm und mit einem Durchmesser von ${}3$ cm. Beide wollen daraus eine Butterlaugenstange machen. Lucy schneidet ihre Stange der Länge nach in der Mitte auf und bestreicht sie einseitig mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm. Heidi zerlegt ihre Stange gleichmäßig in Stücke der Höhe ${}2,5$ cm, und bestreicht auf jedem Stück einseitig die runden Querschnitte mit Butter der Dicke ${}0,5$ mm.

1. Wer verwendet mehr Butter?
2. Wie viel Butter verwendet Lucy?
3. Wie viele Laugenstangen kann Lucy mit ihrer Methode bestreichen, wenn sie eine ${}250$ Gramm Butterpackung zur Verfügung hat und wenn ein Kubikzentimeter Butter ein Gramm wiegt?

Lösung

1. Da beide mit der gleichen Dicke streichen, ist der Butterverbrauch proportional zur bestrichenen Fläche. Bei Lucy ist die bestrichene Fläche (in Quadratzentimetern) gleich

   ${}20\cdot 3=60\,.$

   Wegen ${}20:2{,}5=8$ hat Heidi ${}8$ Stücke zu bestreichen, ihre bestrichene Fläche ist gleich

   ${}8\cdot \pi \cdot 1{,}5^{2}=8\cdot 2{,}25\cdot \pi =18\cdot \pi \leq 18\cdot 3{,}2=57{,}6\,.$

   Lucy verwendet also mehr Butter.

2. Lucy verwendet

   ${}60\cdot 0{,}05=3\,$

   Kubikzentimeter Butter für ihre Laugenstange.

3. Es ist

   ${}250:3=83{,}33..\,,$

   Lucy kann also ${}83$ Laugenstangen mit ihrer Methode bestreichen.

Aufgabe (1 Punkt)

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Lösung

Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.

Aufgabe (2 Punkte)

Auf dem Kindergeburtstag steht zu Beginn eine volle Schale mit Gummibärchen auf dem Tisch, nach kurzer Zeit ist sie leer, da die Kinder die Gummibärchen gegessen haben. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?

Lösung Gummibärchen/Abbildung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.

Lösung

Es sei

${}M={\left\{n\in \mathbb {N} \mid A(n){\text{ ist wahr}}\right\}}\,.$

Wir wollen zeigen, dass ${}M=\mathbb {N}$ ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle ${}n$ gilt. Nach der ersten Bedingung ist

${}0\in M\,.$

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für ${}M$, dass aus ${}n\in M$ stets ${}n+1\in M$ folgt. Damit erfüllt ${}M$ beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass ${}M=\mathbb {N}$ gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Welche mathematische Konstruktion und welcher Sachverhalt wird durch das Bild illustriert?

Lösung Produktmenge/Illustration/Bedeutung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Frau Maier-Sengupta nutzt ihr Auto nur für die beiden folgenden Aktivitäten.

1. Sie fährt jeden Werktag mit dem Auto zum Bäcker, eine Strecke ist ein halber Kilometer.
2. Sie fährt einmal im Jahr mit dem Auto zum Geburtstag ihrer Nichte, eine Strecke ist 160 Kilometer.

Frau Maier-Sengupta möchte in Zukunft weniger Auto fahren, und möchte deshalb eine der genannten Aktivitäten zukünftig autofrei durchzuführen. Auf welchen Autoeinsatz sollte sie verzichten, um möglichst viele Autokilometer einzusparen?

Lösung

Bei (1) fährt sie pro Werktag einen Kilometer, es gibt im Jahr höchstens ${}366-52=314$ Werktage (eventuell Schaltjahr), also benötigt die tägliche Bäckerfahrt im Jahr höchstens ${}314$ Autokilometer. Die Fahrt zum Geburtstag braucht ${}320$ Autokilometer. Sie spart also mehr Autokilometer, wenn sie auf die Autofahrt zum Geburtstag verzichtet.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n\neq 0$ eine natürliche Zahl und ${}t$ ein Teiler von ${}n$. Zeige, dass dann ${}t\leq n$ gilt.

Lösung

Da der Teiler ${}0$ ausgeschlossen ist, sind bei einer Faktorzerlegung ${}n=tc$ beide Faktoren ${}\geq 1$. Wegen Satz 10.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (3) ist daher

${}n=tc\geq t\cdot 1=t\,.$

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten den Binomialkoeffizienten als eine Verknüpfung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,k)\longmapsto {\binom {n}{k}},$

wobei bei ${}k>n$ der Binomialkoeffizient als ${}0$ zu interpretieren ist. Diese Verknüpfung ist offenbar nicht kommutativ.

1. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von links?
2. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element von rechts?
3. Bestimme ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}$ und ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}$.
4. Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Lösung

1. Es kann kein neutrales Element von links geben, da für ${}k>n$ gilt

   ${}{\binom {n}{k}}=0\neq k\,.$

2. ${}1$ ist das neutrale Element von rechts. Für ${}n\geq 1$ ist

   ${}{\binom {n}{1}}=n\,$

   und dies gilt auch für ${}n=0$.

3. Es ist

   ${}{\binom {\binom {3}{2}}{1}}={\binom {3}{1}}=3\,$

   und

   ${}{\binom {3}{\binom {2}{1}}}={\binom {3}{2}}=3\,.$

4. Die Verknüpfung ist nich assoziativ, beispielsweise ist

   ${}{\binom {\binom {4}{3}}{2}}={\binom {4}{2}}=6\,,$

   aber

   ${}{\binom {4}{\binom {3}{2}}}={\binom {4}{3}}=4\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Jemand bemerkt zur Division mit Rest: „Wegen ${}n=dq+r=qd+r$ kann man aus dem Rest der Divison ${}n$ durch ${}d$ direkt den Rest der Divison ${}n$ durch ${}q$ ablesen“. Was ist davon zu halten?

Lösung

Das stimmt nicht. Zwar stimmen für beide Divisionen die Gleichungen überein, allerdings sind die Restbedingungen ${}r<d$ bzw. ${}r<q$ verschieden.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste Zahl ${}n$ derart, dass in der Primfaktorzerlegung von ${}n!$ die ${}17$ mit Exponenten ${}2$ vorkommt.

Lösung

Es ist ${}n=34$. In

${}34!=1\cdots 17\cdots 34\,$

steckt offenbar die ${}17$ zweimal als Faktor drin. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung tritt der Primfaktor ${}17$ in ${}n!$ nur dann auf, wenn er als Primfaktor eines Faktors, also einer Zahl ${}\leq n$ auftritt. Die kleinsten Zahlen, die Vielfache von ${}17$ sind, sind ${}17$ und ${}34$.

Aufgabe (1 Punkt)

Betrachte im ${}13$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl

$3CB.$

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}3CB&=3\cdot 13^{2}+12\cdot 13+11\\&=3\cdot 169+156+11\\&=507+156+11\\&=674.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl ${}b$ die Überträge stets ${}<b$ sind.

Lösung

Der andere Faktor sei durch die Zifferndarstellung ${}a_{k}a_{k-1}\cdots a_{2}a_{2}a_{0}$ gegeben. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Ziffernindex ${}i$. Der Induktionsanfang ist klar. Es sei nun vorausgesetzt, dass der Übertrag ${}d_{i}$, der von der ${}(i-1)$-ten Stelle herrührt, ${}<b$ ist. Der folgende Übertrag ${}d_{i+1}$ ist durch die Division mit Rest somit ist

${}a_{i}b+d_{i}=10d_{i+1}+c_{i}\,$

festgelegt. Für die ${}i$-te Ziffer gilt ${}a_{i}\leq 9$ und somit ist

${}a_{i}b+d_{i}\leq 9b+d_{i}<9b+b=10b\,.$

Daher ist ${}d_{i+1}<b$.

Aufgabe (2 Punkte)

Sie stehen an einem Klippenrand. Jemand sagt: „Innerhalb der ganzen Zahlen ist der Vorgänger des Nachfolgers und der Nachfolger des Vorgängers das Element selbst. Es ist also beispielsweise egal, ob ich zuerst einen Schritt nach vorne und dann nach hinten mache oder umgekehrt. Machen Sie also ruhig einen Schritt nach vorne.“ Klären Sie diese paradoxe Situation.

Lösung Klippe/Vorgänger und Nachfolger/Aufgabe/Lösung

Aufgabe weiter

Bei der Einführung der negativen Zahlen denkt sich Gabi Hochster: „Schön, jetzt haben wir also eine neue Zahl, diese ${}-1$, mit der Eigenschaft, dass sie von ${}1$ verschieden ist, und deren Quadrat

${}(-1)^{2}=1\,$

ist. Die ${}-1$ ist also eine Quadratwurzel der ${}1$. Da sollte es eigentlich doch auch zu jeder natürlichen Zahl ${}n\geq 3$ eine neue Zahl, nennen wir sie mal ${}z_{n}$, geben, die nicht ${}1$ ist, die aber auch

${}(z_{n})^{n}=1\,$

erfüllt. Mit dieser neuen Zahl sollte sich doch zusammen mit den Kommutativgesetzen, Assoziativgesetzen und dem Distributivgesetz ein sinnvoller Zahlenbereich, nennen wir ihn ${}Z_{n}$, ergeben. Ich schau mir die Sache zuerst mal für ${}n=3$ genauer an.“

1. Berechne

   ${\left(z_{3}\right)}^{17}.$

2. Berechne

   ${\left(5+11z_{3}+8z_{3}^{2}\right)}+{\left(6+8z_{3}+9z_{3}^{2}\right)}.$

3. Berechne

   ${\left(2+5z_{3}+z_{3}^{2}\right)}\cdot {\left(4+3z_{3}+2z_{3}^{2}\right)}.$

4. Gabi kommt auf die Idee, ihre Zahl ${}z_{3}$ in die Ebene einzuzeichnen. Da die ${}-1$ der ${}1$ auf der Zahlengeraden direkt gegenüberliegt, man also von der ${}1$ zur ${}-1$ mit einer ${}180={\frac {360}{2}}$ Grad Drehung um den Nullpunkt gelangt, setzt sie für ${}z_{3}$ von der ${}1$ ausgehend eine Drehung um den Nullpunkt um

   ${}{\frac {360}{3}}=120\,$

   Grad an, und die gleiche Länge wie die ${}1$. Skizziere die Situation. Wo platziert sie ${}z_{3}^{2}$?

5. Bestätige die Gleichung

   ${}x^{3}-1=(x-1){\left(x^{2}+x+1\right)}\,$

   für ein beliebiges ${}x\in \mathbb {Z}$.

6. Aufgrund von dieser Gleichung sagt Gabi, dass

   ${}z_{3}^{2}+z_{2}+1=0\,$

   gelten muss. Wie kommt sie darauf?

7. Kann man die zuletzt formulierte Eigenschaft für ${}z_{3}$ auch von der Skizze her begründen?

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}z_{3}^{17}&=z_{3}^{3\cdot 5+2}\\&=z_{3}^{3\cdot 5}\cdot z_{3}^{2}\\&={\left(z_{3}^{3}\right)}^{5}\cdot z_{3}^{2}\\&=1^{5}\cdot z_{3}^{2}\\&=z_{3}^{2}.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}{\left(5+11z_{3}+8z_{3}^{2}\right)}+{\left(6+8z_{3}+9z_{3}^{2}\right)}=11+19z_{3}+17z_{3}^{2}\,.$

3. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(2+5z_{3}+z_{3}^{2}\right)}\cdot {\left(4+3z_{3}+2z_{3}^{2}\right)}&=8+6z_{3}+4z_{3}^{2}+20z_{3}+15z_{3}^{2}+10z_{3}^{3}+4z_{3}^{2}+3z_{3}^{3}+2z_{3}^{4}\\&=8+6z_{3}+4z_{3}^{2}+20z_{3}+15z_{3}^{2}+10+4z_{3}^{2}+3+2z_{3}\\&=21+28z_{3}+23z_{3}^{2}.\end{aligned}}$

4. 

   
   

   
   

   
   

5. Durch distributives Ausmultiplizieren ergibt sich

   ${}(x-1){\left(x^{2}+x+1\right)}=x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1=x^{3}-1\,.$

6. Die Zahl ${}z_{3}$ erfüllt

   ${}z_{3}^{3}-1=0\,.$

   Daher muss nach der vorstehenden algebraischen Gleichung

   ${}0=z_{3}^{3}-1={\left(z_{3}-1\right)}{\left(z_{3}^{2}+z_{3}+1\right)}\,$

   gelten. Wegen ${}z_{3}\neq 1$ ist der linke Faktor nicht ${}0$. Wenn man also für den neuen Zahlenbereich ${}Z_{3}$ auch die Nichtnullteilereigenschaft voraussetzt, so muss der andere Faktor gleich ${}0$ sein, also

   ${}z_{3}^{2}+z_{3}+1=0\,.$

7. Die drei Punkte der Ebene ${}1,\zeta _{3},\zeta _{3}^{2}$ bilden ein gleichseitiges Dreieck in der Ebene. Wenn man die Punkte vektoriell addiert, ergibt sich (der Schwerpunkt) ${}0$.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Lösung

Für jede ganze Zahl ${}k$ ist generell

${}(x-17)(x-k)=x^{2}-(k+17)x+17k\,.$

Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit ${}p=-(k+17)$ und ${}q=17k$. Wenn man darin ${}x$ gleich ${}17$ setzt, ergibt sich ${}0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus ${}\mathbb {Z}$ gefunden, die ${}17$ als Lösung besitzen. Wenn man

${}k=17\,$

setzt, so erhält man die quadratische Gleichung

${}(x-17)(x-17)=x^{2}-34x+289=0\,.$

Für diese ist nur ${}17$ eine Lösung.

Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.

1. Man gebe zu zwei Punkten ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ die Koordinaten des Mittelpunktes an.
2. Es seien in der Produktmenge ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
3. Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?

Lösung

1. Der Mittelpunkt von ${}(a_{1},a_{2})$ und ${}(b_{1},b_{2})$ besitzt die Koordinaten ${}\left({\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},\,{\frac {a_{2}+b_{2}}{2}}\right)$.
2. Wir betrachten für jeden Punkt, ob die Koordinaten gerade oder ungerade sind. Dafür gibt es vier Möglichkeiten ($(g,g),\,(g,u),\,(u,g)\,(u,u)$). Da es ${}5$ Punkte gibt, kommt eine dieser Möglichkeiten zumindest zweimal vor. Seien ${}P$ und ${}Q$ zwei Punkte, die hinsichtlich dieser Eigenschaft übereinstimmen. Da das arithmetische Mittel von zwei geraden Zahlen und von zwei ungeraden Zahlen ganzzahlig ist, besitzt der Mittelpunkt von ${}P$ und ${}Q$ ganzzahlige Koordinaten.
3. Die vier Punkte

   $(0,0),\,(0,1),\,(1,0)\,,(1,1)$

   zeigen, dass dies nicht gelten muss.

Aufgabe (3 Punkte)

Es besteht die didaktische Diskussion, ob man in der Schule ausgehend von den natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ zuerst die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und von da aus die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ einführen soll, oder aber, ob man ausgehend von ${}\mathbb {N}$ zuerst die nichtnegativen rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q} _{\geq 0}$ und dann die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ einführen soll. Welche Argumente könnten für den einen Weg, welche für den anderen Weg sprechen?

Lösung Zahlensystem/N nach Q/Argumente/Aufgabe/Lösung