Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/22/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 0 1 3 4 3 2 4 3 6 3 3 2 2 4 3 2 3 2 0 56




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Komplement zu einer Teilmenge in einer Menge .
  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  3. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  4. Eine rationale Zahl.
  5. Das arithmetische Mittel zu Elementen in einem angeordneten Körper .
  6. Der Betrag eines Elementes in einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Es heißt

    das Komplement von .

  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
  3. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  4. Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

    wobei und sind, und wobei zwei Ausdrücke und genau dann als gleich betrachtet werden, wenn (in ) gilt.

  5. Unter dem arithmetischen Mittel der Zahlen versteht man den Bruch
  6. Der Betrag von ist folgendermaßen definiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Wohldefiniertheit der Anzahl.
  2. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
  3. Der Satz über die Lösbarkeit von Gleichungen in einer Gruppe .


Lösung

  1. Wenn eine Menge ist und wenn

    und

    bijektive Abbildungen sind, so ist

  2. Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung
  3. Zu je zwei Gruppenelementen besitzen die beiden Gleichungen
    eindeutige Lösungen .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Es ist schulbekannt, dass der Schuldirektor gerne die Quantoren durcheinander bringt. Er bittet Sie als Lehererin zu einem ernsten Gespräch und sagt: „Alle Eltern der Klasse 3b haben sich über Sie beschwert“. Was ist Ihre Rückfrage?


Lösung Quantoren/Schuldirektor/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir zählen im Einsilbensystem, also mit den Abweichungen

sechs, sie, ben, acht, ... , sechzehn, siezehn, benzehn, achtzehn, ..., sechsundsiezig, sieundsiezig, benundsiezig, achtundsiezig, .. ., sechsundbenzig, sieundbenzig, benundbenzig, achtundbenzig, ...

  1. Drücke die übliche Zahl Siebenundachtzig als Einsilbenzahl aus.
  2. Drücke die Einsilbenzahl Sieundachtzig in der üblichen Weise aus.
  3. Drücke die Einsilbenzahl Bentausendsiehundertbenundbenzig in der üblichen Weise aus.


Lösung

Das System ist einfach das Elfersystem, wobei nur die Ziffern ab anders benannt sind.

  1. im Einsilbensystem, also neunundsiezig.

  2. Die Zahl Sieundachtzig im Einsilbensystem bedeutet im Zehnersystem
  3. Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und Mengen und seien und Teilmengen. Zeige die Gleichheit


Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst

Dies bedeutet

und

Dies bedeutet einerseits und andererseits . Also ist .

Wenn umgekehrt gilt, so ist und . Wegen der Teilmengenbeziehungen und ist

und

und damit auch


Aufgabe (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.


Lösung

Es sei

Wir wollen zeigen, dass ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle gilt. Nach der ersten Bedingung ist

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für , dass aus stets folgt. Damit erfüllt beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, so dass gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen mit . Zeige

Gilt

in ?


Lösung

Aufgrund der Abziehregel können wir die Gleichheit dadurch zeigen, dass wir beidseitig dazuaddieren und dafür die Gleichheit zeigen. Diese ergibt sich aus

Die angegebene Beispielgleichung ist in nicht definiert, da der Ausdruck nicht definiert ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Zifferntupel , die die Gleichung

erfüllen, wobei und zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.


Lösung

Die Gleichung bedeutet

Eine Umstellung liefert

Bei folgt sofort, dass der Klammerausdruck rechts und dann der Ausdruck rechts überhaupt mindestens gleich ist, was für nicht gelten kann. Also ist

und die Gleichung wird zu

Für gibt es also die Lösungen und ist dann die Quadratzahl davon, die ja einstellig sein muss. Die Lösungstupel sind also

Ausgeschrieben ist


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die erste binomische Formel für einen kommutativen Halbring.


Lösung

Unter mehrfacher Verwendung des Distributivgesetzes und der Kommutativgesetze ist


Aufgabe (6 (1+1+3+1) Punkte)

Der VfB Stuttgart spielt gegen Bayern München und gewinnt auch in dieser Höhe verdient mit .

  1. Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es?
  2. Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man unter Spielverlauf die Torreihenfolge und den Halbzeitstand versteht.
  3. Das Spiel dauerte genau Minuten und in jeder Minute fiel höchstens ein Tor. Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man darunter versteht, welche Mannschaft in welcher Minute ein Tor geschossen hat (hier genügt eine Formel)?
  4. Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es, wenn man weiß, dass Stuttgart, abgesehen vom anfänglichen , stets in Führung lag.


Lösung

  1. Es fallen insgesamt Tore, die Torreihenfolge ist festgelegt, wenn man weiß, welche Tore davon von München erzielt wurden. Also ist die Anzahl der Möglichkeiten gleich
  2. Bei jeder der Torreihenfolgen gibt es für die Pause Möglichkeiten (vor dem ersten Tor, nach dem ersten Tor, nach dem zweiten Tor, ..., nach dem elften Tor), also ist die Anzahl gleich
  3. Für jede der Torreihenfolgen muss man noch festlegen, in welchen Minuten die Tore fielen. Für diese Torminuten gibt es Möglichkeiten, also gibt es Möglichkeiten für den Spielverlauf im beschriebenen Sinn.
  4. Da Stuttgart stets (bis auf den Anfang) in Führung liegt, muss Stuttgart das erste und das zweite Tor erzielen. Wir berechnen die Möglichkeiten je nachdem, ob Stuttgart genau die ersten zwei Toren, genau die ersten drei Tore oder zumindest die ersten vier Tore erzielt. Stuttgart erzielt genau die ersten beiden Tore. Dann erzielt München das dritte Tor und es steht . Wegen der Führungseigenschaft erzielt Stuttgart das vierte Tor und es steht . Für den weiteren Torverlauf gibt es somit Möglichkeiten, und davon ist nur der Fall ausgeschlossen, dass München die beiden folgenden Tore schießt. Also gibt es in diesem Fall Möglichkeiten. Stuttgart erzielt genau die ersten drei Tore. Dann erzielt München das vierte Tor und es steht . In diesem Fall gibt es dann wieder Möglichkeiten. Stuttgart erzielt die ersten vier Tore. Dann ist bei jedem weiteren Torverlauf die Führungseigenschaft erfüllt. Davon gibt es Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

    mögliche Torreihenfolgen, die die Führungsbedingung erfüllen.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte mit stehen.

  1. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) eine Quadratzahl?
  2. Ist das Produkt über alle Einträge in der Hauptdiagonale eine Kubikzahl?
  3. Ist das Produkt über alle Einträge in der Nebendiagonale (von links unten nach rechts oben) eine Quadratzahl?


Lösung

  1. Das Produkt der Einträge der Hauptdiagonale ist

    also ein Produkt von Quadratzahlen und damit selbst eine Quadratzahl.

  2. Im Produkt der Einträge der Hauptdiagonale kommt der Primfaktor nur als in der Mitte vor, der Exponent des Primfaktors ist also und kein Vielfaches von , wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung kann das Produkt also keine Kubikzahl sein.
  3. Das Produkt der Einträge der Nebendiagonale ist

    dies ist also eine Quadratzahl.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Satz 12.9 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Gabi Hochster sagt zu Heinz Ngolo: „Also, wir haben im Universum genau Atome, das nehmen wir jetzt mal so hin. Diese ordnen wir hintereinander von links nach rechts an und zeichnen auf jedem Atom ein Minuszeichen drauf. Nur auf den drei allerletzten Atomen malen wir der Reihe nach eine , eine und eine “. „Ich will aber auf meinen Atomen keine Minuszeichen haben“, sagt Heinz. „Egal, nun mach halt mit, es geht um die abstrakte Rechnung als solche“, bekräftigt Gabi, „also, ist diese geschriebene Zahl positiv oder negativ, ist sie gerade oder ungerade“?


Lösung

Die Zahl beginnt mit Minuszeichen, das ist eine ungerade Anzahl von Minuszeichen und daher ist die Zahl negativ (nämlich gleich ). Die Zahl ist ein Vielfaches der , also gerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl die Zahl ein Vielfaches von ist.


Lösung

Eine ungerade Zahl besitzt die Form mit einer ganzen Zahl . Somit ist

Die hinten ist ein Vielfaches von . Genau eine der beiden Zahlen und ist gerade, also von der Form . Daher ist ein Vielfaches von und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Der Euklidische Algorithmus liefert:

Der größte gemeinsame Teiler von und ist also .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl , die nicht prim ist und die außer keinen Teiler kleiner als besitzt.


Lösung

Die Zahl besitzt jedenfalls eine Primfaktorzerlegung, in der nicht vorkommen. Der kleinste mögliche Primfaktor ist somit . Da es keine Primzahl sein darf, ist

die kleinste Möglichkeit.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung

ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ?


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

Da dies eine lineare bijektive Funktion ist, wird die Addition in die Addition übersetzt. Wegen und

wird die übliche Multiplikation auf in die neue Multiplikation übersetzt. Daher übertragen sich sämtliche algebraischen Eigenschaften von auf und es liegt ein Körper mit als neutralem Element für vor.


Aufgabe (2 Punkte)

Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?


Lösung

Die Schulterhöhe des Riesen befindet sich (alle Angaben in Meter) auf

Höhe. Mit dem einen Zwerg darauf sind das . Es ist

daher braucht man Zwerge.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung