Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 24/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Ordne die folgenden rationalen Zahlen gemäß ihrer Größe.
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen und liegen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Warum braucht man in der Definition 24.1 die Bedingung, dass beide Nenner positiv sind?
Das folgende Konzept reicht historisch weiter zurück als das der rationalen Zahlen.
Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass zwei Strecken und genau dann kommensurabel sind, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass von beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein rationale Zahl auf der Zahlengeraden. Zeige, dass zu einem weiteren Punkt genau dann kommensurabel ist, wenn ebenfalls rational ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.
Wer fährt schneller?
Aufgabe Aufgabe 24.11 ändern
Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man
setzt. Sie beschränkt sich auf positive . Überprüfe ihre Behauptungen:
- Bei
gilt
Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen.
- Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert.
- Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert.
- Die Verknüpfung ist kommutativ.
- Die Verknüpfung ist nicht assoziativ.
Aufgabe * Aufgabe 24.12 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.
Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.
Aufgabe Aufgabe 24.13 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element negativ ist.
Aufgabe Aufgabe 24.14 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.
Aufgabe Aufgabe 24.15 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.
Aufgabe Aufgabe 24.16 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und seien positive Elemente. Zeige, dass zu äquivalent ist.
Aufgabe * Aufgabe 24.17 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 23.31 eingeführte Abbildung
injektiv ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige die Abschätzung
für .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung
Aufgabe Aufgabe 24.22 ändern
Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion
in einem angeordneten Körper (dabei seien beliebige Elemente in ).
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn ist.
- Es ist genau dann, wenn oder ist.
- Es ist .
- Es ist .
- Für ist .
- Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).
- Es ist .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes die Ungleichung erfüllt ist. Für welche gilt Gleichheit?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige die Abschätzung
für .
Aufgabe Referenznummer erstellen
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 24.28 ändern
Zeige, dass die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen eine totale Ordnung ist.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige die Abschätzung
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 23.31 konstruierte Zuordnung .
a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.
b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in mit den Verknüpfungen in übereinstimmen und die Ordnung auf mit der Ordnung auf übereinstimmt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Ergänze den Stern-Brocot-Baum um eine weitere Zeile.
<< | Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I | >> |
---|