Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 44/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper , die beide gegen konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge eine Nullfolge ist.
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei . Zeige, dass die Folge in einem archimedisch angeordneten Körper gegen konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zu sei die rationale Folge folgendermaßen definiert: Es sei
die größte Zahl mit und mit . Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.11.
Aufgabe * Aufgabe 44.7 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und es sei ein abgeschlossenes Intervall in . Es sei eine Folge in mit für alle . Die Folge konvergiere gegen . Zeige .
Aufgabe * Aufgabe 44.9 ändern
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 13.22
hilfreich.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln zu existieren. Zeige, dass die Folge ab streng fallend ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis . Entscheide, ob die Folge
in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
- Finde das kleinste mit
- Finde das kleinste mit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige analog zu Beispiel 44.13, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche , gegen konvergiert.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und seien rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung
gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein angeordneter Körper und seien verschiedene Punkte aus . Zeige, dass es Intervalle und mit positiver Länge, mit , und mit gibt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Es sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige
für alle .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Rekursionsvorschrift
des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder stets eine nichtkonstante Folge entsteht.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Rekursionsvorschrift
des Heron-Verfahrens in für . Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe Beispiele für konvergente Folgen und in einem angeordneten Körper mit , , und mit derart, dass die Folge
- gegen konvergiert,
- gegen konvergiert,
- divergiert.
Aufgabe (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die durch
definierte Folge gegen konvergiert.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
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