Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 12



Die Pausenaufgabe

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen




Übungsaufgaben

Sortieren Sie in Ihrem Kopf die Formulierungen „ teilt “, „ ist ein Teiler von “, „ ist ein Vielfaches von “, „ wird von geteilt“, „ kann man durch teilen“, „ ist durch teilbar“.


Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass ungerade oder aber durch teilbar ist.


Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass stets gerade ist.


Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Es sei eine Menge von Äpfeln und eine Menge von Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ein Teiler von ist.


Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.


Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser Körperteile in Teilmengen mit je Elemente an.


Es sei eine Menge mit Elementen und eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist ein Teiler von .
  2. Es gibt eine Zerlegung von in disjunkte Teilmengen , wobei sämtliche beteiligten Teilmengen genau Elemente besitzen.
  3. Es gibt eine Zerlegung von in disjunkte Teilmengen.


Interpretiere Aufgabe 12.9 für den Fall .


Es seien natürliche Zahlen und es gelte, dass ein Vielfaches von sei. Ferner sei . Zeige, dass dann ein Vielfaches von ist.


Es seien natürliche Zahlen, die beide von geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz von geteilt wird.


Es sei eine natürliche Zahl und sei die kleinste natürliche Zahl mit . Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung stets oder gilt.


Es seien positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von und der Menge aller Vielfachen von .


Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?


Es sei

die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion

derart, dass genau dann gilt, wenn die Zahl teilt.


Erläutere, warum die Formulierung „Die teilt die , man kann die aber nicht durch die teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist. Tipp: Verwende die Konzepte Relation und Abbildung (bzw. Verknüpfung).


Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.


Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche (wir haben also nach wie vor keine rationalen Zahlen) verhalten.

  1. Für jede natürliche Zahl gilt und bei gilt auch .
  2. Für jede natürliche Zahl gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch und es ist (bei )
  4. Gilt und , so gilt auch und es ist (bei )
  5. Gilt , so gilt auch für jede natürliche Zahl , und es ist (bei )
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige natürliche Zahlen , und es ist (bei )


Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.14 sehen.

Es seien natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es sei ein Teiler von . Dann ist

    für .

  2. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von mit . Dann ist

    Insbesondere gelten, wenn ein Teiler von ist, die Beziehungen (mit )

    und

  3. Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Dann ist ein Teiler von und es ist


Es gibt Schokoriegel und Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?


Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von und .


Es sei ein Teiler von . Was ist der größte gemeinsame Teiler von und und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von und ?


Es seien ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung


Berechne den Ausdruck

für . Handelt es sich dabei um Primzahlen?


Zeige, dass man jede natürliche Zahl als Summe

schreiben kann, wobei sowohl als auch zusammengesetzte Zahlen sind.


Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?


Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.


Finde einen Primfaktor der Zahl .


Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen


Man gebe zwei Primfaktoren von an.


Welche natürliche Zahlen haben bezüglich der Addition die zur Primeigenschaft (die ja unter Bezug auf die Multiplikation definiert ist) analoge Eigenschaft? Gilt die eindeutige Zerlegung in „Primsummanden“?


Es sei eine Menge und . Wir betrachten auf den Durchschnitt als Verknüpfung mit der Gesamtmenge als neutralem Element.

  1. Was bedeutet in diesem Fall die Teilbarkeitsbeziehung, die analog zur Teilbarkeit in zu definieren ist?
  2. Was sind die „Primelemente“ in ?
  3. Gibt es stets eine Faktorzerlegung in Primelemente?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen

Es sei . Zeige, das dann sein muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Zeige, dass ein Teiler von ist und dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Zum neunten Geburtstag ihres Enkels Mustafa backt Oma Müller für die Geburtstagsparty ihre beliebten Geburtstagskekse. Mustafa hat Kinder aus seiner Klasse eingeladen, mit ihm werden es maximal Kinder sein. Es ist aber nicht klar, ob alle kommen. In jedem Fall will Oma Müller sicher sein, dass jedes Kind genau gleich viele Kekse bekommt. Wie viele Kekse backt sie? (die Lösung, gar keine Kekse zu backen, würden die Kinder nicht verstehen.)


Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde fünf natürliche Zehnerintervalle , die jeweils vier Primzahlen enthalten.



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